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| 點集拓撲 | |
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點集拓撲，(Point Set Topology)，又名一般拓撲(Geoneral Topology)，是用點集的方法研究拓撲不變量的拓撲學分支。
起源
點集拓撲學產生於19世紀。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函數空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。
理論內容
泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當作空間來研究。數學分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續又是極限的基本問題。為把收斂與連續的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合"鄰近"的概念。[1]
如何描述"鄰近"，可以用"距離"，但"距離"與"鄰近"並無必然的聯繫。1914年F.豪斯道夫開始考慮用"鄰域"來定義拓撲。對一個非空的集合X，規定X的每點有一個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組鄰域公理(即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質)。該子集族中的每個集合稱為這點的一個鄰域 。
這就給出了X的一個拓撲結構。X連同此拓撲結構稱為一個拓撲空間。X的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續映射的概念。若一個映射連續，且存在逆映射，逆映射也連續，則稱此映射為同胚映射。具有同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的(直觀地說即兩個空間相應的圖形從一個可連續地形變為另一個)。
要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚映射即可。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區間同胚;任意兩開區間同胚;半開半閉的區間[c，d]與[a,b]同胚。二維球面挖去一個點s2-p與歐幾里得平面K2同胚。要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚映射。
方法是找同胚不變量或拓撲不變性(即在同胚映射下保持不變的性質);第一個空間具有某同胚不變量，另一個空間不具有，則此二空間不同胚。一般拓撲學中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等(見拓撲空間)。
在歷史上F.豪斯多夫提出了分離空間;弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關係;L.S.烏雷松對緊空間進行了系統研究 ，且在拓撲空間可否變量化的問題上作出了貢獻 ;1937年H.嘉當引進了"濾子"的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質的屬性揭示了出來;維數的問題是E.嘉當在研究皮亞諾曲線(一種可填滿整個正方形的"曲線")時提出的，1912年H.龐加萊給出定義，由烏雷松等人加以改進。[2]