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理髮師悖論是全國科學技術名詞審定委員會審定、公布的專有文化術語。

歷史名詞是歷史上曾出現的事件及事物的名稱，例如「禪讓」，傳說古代實行舉薦賢能之人為首領繼承人的一種制度，據文獻記獻：有堯舉舜、舜舉禹、禹先舉皋陶、皋陶死禹又舉益等歷史故事。

名詞解釋

理髮師悖論是羅素悖論的通俗舉例，是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。羅素悖論的出現是由於樸素集合論對於元素的不加限制的定義。由於當時集合論已成為數學理論的基礎，這一悖論的出現直接導致了第三次數學危機，也引發了眾多的數學家對這一問題的補救，最終形成了現在的公理化集合論。同時，羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

理髮師悖論的內容

一個城市裡唯一的理髮師立下了以下的規定:只幫那些自己不理髮的人理髮。

現在問一個問題:理髮師應該為自己理髮嗎?

你會發現理髮師處於兩難,因為:

如果理髮師自己不理髮，他需要遵守規則，幫自己理髮.

如果理髮師是自己理髮的，他需要遵守規則，不幫給自己理髮

換用集合語言：

可以把集合分為兩類，凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合；凡以自身作為元素的集合稱為第二類集合。顯然每個集合或為第一類集合或為第二類集合。設\mathbf{A}為第一類集合的全體組成的集合。

如果\mathbf{A}是第一類集合，由集合\mathbf{A}的定義知:\mathbf{A}應該是\mathbf{A}的元素，這表明\mathbf{A}是第二類集合

如果\mathbf{A}是第二類集合，那麼\mathbf{A}是它自身的元素 二者皆導出矛盾，而整個討論邏輯上是沒有問題的。問題只能出現在集合的定義上。

數學語言

設對於一類集合，A_1 = \{ a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots a_{1,i} \cdots \} , A_2 = \{ a_{2,1} , a_{2,2} , \cdots , a_{2,i} \cdots \} , \cdots ,A_i = \{ a_{i,1} , a_{i,2} , \cdots , a_{i,j } \cdots \}都滿足條件a_{i,j} \not\in A_i \left( i = 1, 2,\cdots j = 1, 2, \cdots \right)

但A_i \in A_i一切這類集合構成新集合A = \{ A_1 , A_2 , \cdots , A_i , \cdots \} , A_i \in A ，

那麼是否有A \in A？如果認為A \in A ,則A應該不是自身集合的元素，即A \not\in A，如果A \in A , A就應是本集合的元素，即A \not\in A，所以矛盾。

補救

由於羅素悖論的出現所引發的第三次數學危機，公理化集合論勢在必行。 德國數理邏輯學家策梅洛（Zermelo，1871年-1953年）應用自己的公理系統，使得集合在公理的限制下不會太大，從而避免了羅素悖論。經過改進，這一系統形成了現在被稱為ZF系統的公理集合論體系。這個體系至今沒有發現悖論。

羅素悖論、理髮師悖論和異己詞悖論的關係

按我們通常對集合的理解，我們可以把集合分成兩種，一種是屬於自身的，即自己是自己的元素，另一種是不屬於自身的。設S是由所有不自身的集合組成的集合，那麼S是否屬於它自己？若S屬於S，依S的定義，S中的元素都不應該屬於自己；而若S不屬於S，則按照S的定義，S應該是所有不屬於自己的集合構成的集合，那麼S又屬於S。即不論假定S屬於自己還是不屬於自己，都將導致矛盾。

理髮師悖論與羅素悖論是等價的。因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是村里不屬於自身的那些集合，並且村里所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

異己詞悖論：在語言中，有些形容詞可以描述自身，有些形容詞則不可以描述自身。例如形容詞 「short」（短的）和「English」（英國的）可以修飾自身，因為short只有五個字母，English本身也是英語單詞。而「long」（長的）和「French」（法國的）則不能修飾自身。又如「polysyllabic」（多音節的）這個詞是多音節的，但「monosyllabic」（單音節的）這個詞卻不是單音節的。看來可以這麼說，一個詞或者可以用於自己，或者不可以。我們稱那些能描述自身的詞為同己的（autological），稱那些不能描述自身的詞為異己的（heterological）。現在讓我們來考慮異己的（heterological）這個詞，它是同己的還是異己的呢？如果它是同己的，則依同己的定義，它能描述自身，所以它是異己的。如果它是異己的，由於它能描寫自身，所以應該是同己的。這樣一來，每一個關於這個詞的假設都會導致矛盾。

我們按照理髮師悖論和羅素悖論關係那樣思考，我們把一個詞與一個集合關聯，這個集合是由這個詞所能修飾的詞構成的，那麼異己的（heterological）這個詞就恰恰對應了羅素悖論中「所有不自身的集合組成的集合」。這麼說來，異己詞悖論也等價於羅素悖論。如果用符號來表示異己詞這一概念，則更加明顯：X是異己的，如果X並非X。這和羅素悖論中的「X屬於S，如果X不屬於X」何其相似！實際上，它們的邏輯結構相同。

但是，我至今沒有看到哪本書上敘述過它們的這種關係，所有介紹這幾個悖論的書都只是明確承認前兩個悖論是等價的，而異己詞悖論經常被單獨討論。甚至有些書上竟然把異己詞悖論說成是一種「語義學悖論」，而把羅素悖論說成是純邏輯悖論。這樣的分法有什麼根據呢？難道異己詞悖論中涉及詞語本身的語義，就說它是語義學的嗎？按照《數學，確定性的喪失》的說法，語義學悖論「涉及到一個詞的真實性和可定義性或模糊應用等概念，相應地採用這些概念的嚴格定義能解決上述悖論。」這提醒我們，有些詞義本身是模糊不清的，比如說，長度為多少的詞可以用long來修飾？沒有什麼標準。但是，如果把所有英語形容詞的詞義嚴格地界定起來，那麼異己詞悖論就真正等價於羅素悖論了。所以，悖論本身並沒有因為概念的嚴格定義而得到解決。