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此猜想在十八世紀就被克里斯蒂安·哥德巴赫提出(哥德巴赫認為1也是質數，故其原始的敘述與現今的版本不同)，但截至目前為止，沒有人可證實(或反證)此猜想，而此猜想亦為希爾伯特第八問題的一部份。
=='''以往的证明全部都是错误的'''==
设a,b,c为殆素数，即n个素数的乘积。
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。
就是说，因为“证明”所谓【1+3】而获得菲尔兹奖的邦别里也是错误的。 [[File:Psc (10).jpg|缩略图]]
=='''哥德巴赫猜想只是一个初等数论问题''' ==
素数普遍公式
公式形式：
N=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=.....=Pr Mr P<sub>r</sub> M<sub>r</sub> +Ar A<sub>r</sub> ......(1)。 （小写字母“r”表示脚标 ）
其中P₁，P₂，....，Pr 表示顺序素数 2，3，5，...... 。Ai 。A<sub>i</sub> ≠0。
这样解得的N，若N＜P ²_r<sup>²</sup><sub>r+ ₁ 1</sub> ，则N是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示：
N≡A₁(modP₁)，N≡A₂(modP₂)，.....N ≡Ar≡A<sub>r</sub>(modPrmodP<sub>r</sub>)。。。。.（2）
由于（2）的模P₁，P₂，，. ，Pr ，P<sub>r</sub> 都是素数，因此两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的A₁，A₂，， ，Ar ，A<sub>r</sub> ，（2）式在P₁P₂....Pr P<sub>r</sub> 范围内有唯一解。
范例
即 S+X 成为素数，S-X 也是素数。
根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q 和r 和s （0 ≤r ≤s ＜b），使a=bq+r s ”。
再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，。.，m-1中一数同余（mod m）”。、所以，任给一个自然数S(S >4)，都可以唯一表示成为：
S=P₁M₁+C₁=P₂M₂+C₂= 。。...=Pr Mr P<sub>r</sub> M<sub>r</sub> + Cr C<sub>r</sub> 。。(3)
其中 P₁，P₂，.Pr P<sub>r</sub> ，.表示前面r个顺序素数 2，3，5，....，。Ci=0，1，2，...,.Pr P<sub>r</sub> —1，
P ²_r ²<sub>r</sub> /2 < S ＜ P ²_r²<sub>r+ ₁1</sub>
现在问，是否存在X,
X=P₁H₁+D₁=P₂H₂+D₂=......=Pr Hr +Dr .(4)
其中 ：Di≠Ci ：D<sub>i</sub>≠C<sub>i</sub> ； Di≠Pi D<sub>i</sub>≠P<sub>i</sub> - Ci C<sub>i</sub> 。,
如果X ＜S-2，则S+X与S-X都是素数。
X=2H₁+1=3H₂+0=5H₃+4=9.
四个解是：21，27，3，9。小于S-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。 这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且 S+X＜P ²_r²<sub>r+ ₁1</sub>,， 则S+X与S-X是一对素数。
推论：