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素数公式
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== 素数普遍公式 ==
一个自然数n是素数当且仅当n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数整除。
可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：
<math>n=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+a_{k}.</math>......(1)
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>a</math>≠0。
若<math>n<P^{2}_{k+1}</math>,则n是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示 ：
<math>n \equiv a_1 \pmod{p_1}, n \equiv a_2 \pmod{p_2}, \dots, n \equiv a_k \pmod{p_k}</math>.......（2）
由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，
根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的<math>a_{1}</math>,<math>a_{2}</math>,...,<math>a_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。
===范例===
k=1时，<math>n=2m_{1}+1</math>，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。
k=2时，<math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得n=7，13，19； <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，
解得n=5，11，17，23。
求得了（5，5²）区间的全部素数。
{| class="wikitable"
|-
! k=3时!!<math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
|-
| <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1=</math> || 31 || 7,37 || 13,43 || 19
|-
| <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2=</math> || 11,41 || 17,47 || 23 || 29
|}
|}求得了（7,7²）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。
对于所有可能的<math>a_{1}, a_{2} \cdot , a_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，
有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-1</math>)...（<math>p_{k}-1</math>）
个解。参见天津师范大学【中等数学】1999年2期（谈谈素数表达式，吴振奎）或者【品数学】，清华大学出版社[[File:素数公式.jpg|
[[File:品数学.jpg|缩略图|素数公式]]
缩略图|素数公式]]
一个自然数n是素数当且仅当n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数整除。
可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：
<math>n=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+a_{k}.</math>......(1)
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>a</math>≠0。
若<math>n<P^{2}_{k+1}</math>,则n是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示 ：
<math>n \equiv a_1 \pmod{p_1}, n \equiv a_2 \pmod{p_2}, \dots, n \equiv a_k \pmod{p_k}</math>.......（2）
由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，
根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的<math>a_{1}</math>,<math>a_{2}</math>,...,<math>a_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。
===范例===
k=1时，<math>n=2m_{1}+1</math>，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。
k=2时，<math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得n=7，13，19； <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，
解得n=5，11，17，23。
求得了（5，5²）区间的全部素数。
{| class="wikitable"
|-
! k=3时!!<math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
|-
| <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1=</math> || 31 || 7,37 || 13,43 || 19
|-
| <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2=</math> || 11,41 || 17,47 || 23 || 29
|}
|}求得了（7,7²）区间的全部素数。
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。
对于所有可能的<math>a_{1}, a_{2} \cdot , a_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，
有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-1</math>)...（<math>p_{k}-1</math>）
个解。参见天津师范大学【中等数学】1999年2期（谈谈素数表达式，吴振奎）或者【品数学】，清华大学出版社[[File:素数公式.jpg|
[[File:品数学.jpg|缩略图|素数公式]]
缩略图|素数公式]]