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孫子算經

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作品名稱: 孫子算經 創作年代: 四、五世紀 卷 數: 三卷 類 別: 數學 釋 義: 《孫子算經》是中國古代重要的數學著作 目 的: 討論了度量衡的單位和籌算的制度和方法

《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在四、五世紀，也就是大約一千五百年前，作者生平和編寫年不詳。傳本的《孫子算經》共三卷。卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法，卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是後世「雞兔同籠」題的始祖，後來傳到日本，變成「鶴龜算」。書中是這樣敘述的：「今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子裡，從上面數，有35個頭；從下面數，有94隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔？ 此題被義務教育課程標準實驗教科書人教版數學五年級上冊選為補充教材並且在部分五~六年級的課外習題所用。

簡介

具有重大意義的是卷下第26題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？答曰：『二十三』」。《孫子算經》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數學家秦九韶則進一步開創了對一次同餘式理論的研究工作，推廣「物不知數」的問題。德國數學家高斯[K.F. Gauss.公元1777-1855年]於公元1801年出版的《算術探究》中明確地寫出了上述定理。公元1852年，英國基督教士偉烈亞士[Alexander Wylie公元1815-1887年]將《孫子算經》「物不知數」問題的解法傳到歐洲，公元1874年馬蒂生[L.Mathiesen]指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數學史里將這一個定理稱為「中國的剩餘定理」[Chinese remainder theorem]。另外還有一道，曰：「巍巍古寺在山林，不知寺內幾多僧。三百六十四隻碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請問先生明算者，算來寺內幾多僧。」

作者簡介

卷下「今有佛書」一問，說明孫子算經的作者和孫子兵法的孫子是不同的人。

孫子曰：夫算者：天地之經緯，群生之園首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表里，五行之准平，四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱記。稽群倫之聚散，考二氣之降升，推寒暑之迭運，步遠近之殊同，觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短，采神只之所在，極成敗之符驗。窮道德之理，究性命之情。立規矩，准方圓，謹法度，約尺丈，立權衡，平重輕，剖毫釐，析泰絫。歷億載而不朽，施八極而無疆。散之者，富有餘；背之者，貧且寠。心開者，幼沖而即悟；意閉者，皓首而難精。夫欲學之者，必務量能揆己，志在所專，如是，則焉有不成者哉！

全書共分三卷：

上卷

詳細的討論了度量衡的單位和籌算的制度和方法。

度量衡包括長度（度），質量（量），體積/容積（衡）。長度的基本單位是蠶吐出的一根絲（直徑為一忽），以上為十進。小的長度單 位包括忽，絲，毫，氂，分，寸，尺，丈，引，端（50引）。輔助單位包括匹（40尺），步（6尺），畝（240步。古代以方形周長代面積），里（300步）。

質量的基本單位是一顆黍的質量，以上是絫，銖，兩（24銖），筋（即斤，16兩），鈞（30斤），石（4鈞）。

體積和容積的基本單位是一顆粟的體積。以上是圭（6粟），撮，抄，勺，合，升，斗，斛。

大數的名稱，一萬萬為億，以上每一萬倍稱為兆，京，陔，秭，穣，溝，澗，正，載。

圓周率約等於三（周三徑一），根號2約等於1.4（方五斜七）。

以下還記載了白銀，鉛，銅，鐵，玉，石等生產生活和經濟生活中常見的物質的密度。

籌算在春秋戰國時代已經運用，但在古代中國數學著作如算數書、九章算術等書中都不曾記載算籌的使用方法；孫子算經第一次詳細地記述籌算的布算規則：「凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬相當」，此外又說明用空位表示零。

在進行乘法時，「凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之數列於中位。言十即過，不滿自如。上位乘訖者先去之。下位乘訖者則俱退之。六不積，五不只。土下相乘，至盡則已。」《孫子算經》明確說明「先識其位」的位值概念，和「逢十進一」的十進位制。

除法法則：「凡除之法：與乘正異乘得在中央，除得在上方，假令六為法，百為實，以六除百，當進之二等，令在正百下。以六除一，則法多而實少，不可除，故當退就十位，以法除實，言一六而折百為四十，故可除。若實多法少，自當百之，不當復退，故或步法十者，置於十百位（頭位有空絕者，法退二位。余法皆如乘時，實有餘者，以法命之，以法為母， 實余為子。」）

在此之後記載了穀物換算成精穀物和米飯的經驗比例：粟米打成糲米的體積是五分之三，糲米煮成米飯的體積是二分之五。

第一章的最後是乘法表（從九九八十一開始到一一得一）和每個乘法結果的乘方表。用表格記載下來如下：

中卷

主要是關於分數的應用題，包括面積、體積、等比數列等計算題，大致都在《九章》中論述的範圍之內；

下卷

對後世的影響最為深遠，如下卷第31題即著名的「雞兔同籠」問題，後傳至日本，被改為「鶴龜算」。

今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何？答曰：雉二十 三，兔一十二。

術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七，以少減多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上 二，即得。又術曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

算法譯文：第一行放好頭的數目，第二行放好腳的數目。將腳的數目除以二，得四十七。以較少的頭數減較多的」腳數的一半「，得十二（現在我們知道這就是兔的數目），將第一行的算籌數目根據第二行得出的數目依次取去，即得雞的數目。

另一種算法是：第一行放頭的數目，第二行放腳的數目，將腳的數目除以二，從腳的數目的一半減去頭的數目，再從頭的數目減去剛才所獲得的結果，即得雞的數目。

下卷27題則是」雞兔同籠「的一種推廣。即使是頭多於一個的奇異生物也能計算它們的數量。

今有獸，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。問：禽、獸各幾何？答曰：八獸、七禽。

術曰：倍足以減首，余半之，即獸；以四乘獸，減足，余半之，即禽。

算法譯文：將腳的總數乘以二，減去頭的數目，差除以二，得到獸的數目。將獸的數目乘以四，減去腳的數目，除以二，得到禽的數目。

下卷第28題「物不知數」為後來的「大衍求一術」的起源，被看作是中國數學史上最有創造性地成就之一，稱為中國餘數定理：今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二。問：物幾 何？答曰：二十三。

術曰：三三數之，剩二，置一百四十；五五數之，剩三，置六十三；七七數之，剩二 ，置三十。並之，得二百三十三，以二百一十減之 ，即得。凡三三數之，剩一，則置七十 ；五五數之，剩一，則置二十一；七七數之，剩一，則置十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

下卷最後一題還提供了一種卜算胎兒性別的」方法「，頗有些現代」校驗算法「的旨趣，一併記之如下：

今有孕婦，行年二十九歲。難九月，未知所生？答曰：生男。

術曰：置四十九加難月，減行年，所余以天除一，地除二，人除三，四時除四，五行除五，六律除六，七星除七，八風除八，九州除九。其不盡者，奇則為男，耦則為女。

算法譯文：基數七七四十九，加上孕婦的孕期（九月，得五十八），減去孕婦的年齡（二十九，得二十九）。計算結果連續除以一到九的整數。如果最後的餘數是奇數就是生男，偶數就是生女。本例的結果是除到4時餘1，不能繼續除以5，所以孕婦生的是男孩。

《孫子算經》有新加坡大學數學教授藍麗蓉的英譯本。

社會影響

孫子算經，中國南北朝數術著作，《算經十書》之一。

盪杯問題

在中國古算書中，《孫子算經》一直在我國數史占有重要的地位，其中的「盈不足術」、「盪杯問題」等都有着許多有趣而又不乏技巧算術程式。

孫子算經。卷下第十七問給我們描述的就是着名的「盪杯問題」的程式。題曰：「今有婦人河上盪杯。津吏問曰：『杯何以多？』婦人曰 ：『有客。』津吏曰：『客幾何？』婦人曰：『二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客幾何？」

很明顯，這裡告訴我們這次洗碗事件，要處理的是65個碗共有多少人的問題。其中有能了解客數的信息是2人共碗飯，3人共碗羹，4人共 碗肉。通過這幾個數值，很自然就能解決客數問題。因為客數是固定值，因此將其列成今式為N/2+N/3+N/4=65，易得客數六十人。

而該題的解法與今解如出一轍，其有「術曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得」可證。