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| 整數 | |
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整數，就是像0、1、2、3、-10、1、3、10等這樣的數。[1]
整數的全體構成整數集，整數集是一個數環。在整數系中，零和正整數統稱為自然數。-1、-2、-3、…、-n、…(n為非零自然數)為負整數。則正整數、零與負整數構成整數系。整數不包括小數,分數。
性質及應用
概念及其性質
如果不加特殊說明，我們所涉及的數都是整數，所採用的字母也表示整數。[2]
定義：設a,b是給定的數，b≠0，若存在整數c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，並稱b是a的一個約數(因子)，稱a是b的一個倍數，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。
整數整除性
（1）1與0的特性：
1是任何整數的約數，即對於任何整數a，總有1|a.
0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0.
（2）若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。
（3）若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
（4）若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
（5）若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
（6）若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
（7）若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2=7，所以133是7 的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2=595 ， 59－5×2=49，所以6139是7的倍數，余類推。
（8）若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
（9）若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
（10）若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
（11）若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數不是2而是1。
（12）若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
（13）若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（14）若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（15）若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（16）若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
（17）若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
（18）若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除
整數的奇偶性
(1)奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數；
（2）奇數的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶數的平方可以表示為8m或（8m+4)的形式；
（3）若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；偶數的平方根若是整數，它必為偶數。
奇偶性的哲學內涵
（作者：奇東，單位：奇東）
偶數能被2自然整除，奇數不能被2自然整除。奇數卻能被2「相對整除」，如果定義小數±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…擁有「相對整」性質的話。其哲學意義：傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數二者的排斥性、對立性、差異性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除、奇數卻能被2在抽象意義下「相對整除」是指奇數和偶數的異中之同、差異中的共性與同一性，恰好與哲學的對立統一規律相吻合，因此說，奇數與偶數（或整數與半整數）相反相成，蘊涵着哲學的對立統一規律！常言道，最簡單的、最質樸恰恰是最深奧的。一個最簡單的數值邏輯，蘊涵着最深刻的真理----對立統一規律。
整數擁有單位「1」，「相對整」分數擁有分數單位「1/2」。依照邏輯、概念、定義，分數就是分數。半整數擁有分數性質，然而卻偏偏冒出一個「相對整」性質，考驗人類科學的勇氣與智慧。
完全平方數
完全平方數及其性質
能表示為某整數的平方的數稱為完全平方數，簡稱平方數。平方數有以下性質與結論：
（1）平方數的個位數字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除餘1，即任何平方數被4除的餘數只有可能是0或1；
（3）奇數平方的十位數字是偶數；
（4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6；
（5）不能被3整除的數的平方被3除餘1，能被3整除的數的平方能被3整除。因而，平方數被9也合乎的餘數為0,1，4,7，且此平方數的各位數字的和被9除的餘數也只能是0,1，4,7；
（6）平方數的約數的個數為奇數；
（7）任何四個連續整數的乘積加1，必定是一個平方數。
（8）設正整數a,b之積是一個正整數的k次方冪（k≥2），若（a,b）=1，則a,b都是整數的k次方冪。一般地，設正整數a,b,c……之積是一個正整數的k次方冪（k≥2），若a,b,c……兩兩互素，則a,b,c……都是正整數的k次方冪。
數學分類
整數的分類
以0為界限，將整數分為三大類
1.正整數
即大於0的整數如：1，2，3······等等。
2.零
既不是正整數，也不是負整數，它是介於正整數和負整數的數。
3.負整數
即小於0的整數如：-1，-2，-3······等等。
正整數
它是從古代以來人類計數的工具。可以說，從「一頭牛，兩頭牛」或是「五個人，六個人」抽象化成正整數的過程是相當自然的。 正整數也可分成奇數和偶數兩類。
零
不僅表示「沒有」（「無」），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數並進行運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(Zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是「空」或「空白」。
負整數
中國最早引進了負數。《九章算術.方程》中論述的「正負數」，就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然數，則所給方程未必有自然數解。為了使它恆有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。
奇數
在整數中，不能被2整除的數叫做奇數，它跟偶數是相對的。日常生活中，人們通常把正奇數叫做單數，它跟雙數是相對的。
偶數
整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數。 偶數包括正偶數（俗稱雙數）、負偶數和0。 所有整數不是奇數，就是偶數。當n是整數時，偶數可表示為2n（n為整數）；奇數則可表示為2n+1（或2n-1）。 在十進制里，我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數：個位為1,3,5,7,9的數為奇數；個位為0,2,4,6,8的數為偶數。
備註：現中學數學教材中規定：零和正整數為自然數。
廣義整數
將整數與半整數統稱為廣義整數，應量子力學的需要將整數擴展為廣義整數，數值邏輯公理系統提供理論支持，量子力學的半整數提供客觀的科學支持！
代數性質 下表給出任何整數a，b和c的加法和乘法的基本性質。
非負整數為正整數和零的統稱，就是處負整數以外的整數都叫非負整數，非負整數也叫自然數。
非正整數為負整數和零的統稱，就是處正整數以外的整數都叫非正整數。
計算機語言中
整數是對象，用一個引用指向這個對象
Java 中的數據類型分為基本數據類型和複雜數據類型 int 是前者>>integer 是後者（也就是一個類）
數據類型
Uninterpreted 位元 字節 Trit Tryte Word 數值 整數 Fixed-point 浮點數 Rational Complex Bignum Interval 文本 字符 字符串 指針 物理地址 Reference 組合 Algebraic data type 數組 Associative array Class List Object Option type Product Record Set Union 其他 布爾型 Bottom type Collection Enumerated type 異常 First-class function Opaque data type Recursive data type 信號標 字串流 Top type Type class Unit type Void
相關議題 抽象資料型別 數據結構 Interface Kind 原始型別 Subtyping Template Type constructor Parametric polymorphism 數學名詞 八邊形 八面體 百分比 百分點 百分位數 半徑 半球 半圓 被乘數 被除數 被加數 被減數 比 比例 邊 變量 標準差 表面積 並集 補集 不等邊三角形 不等式 不定積分 差 長 常量 乘 乘方 乘數 除 除數 垂心 次方 次方根 大於 大於等於 代數 單調性 單項式 導數 等邊三角形 等式方程式 等腰三角形 等腰梯形 等於 底 底面 點 定積分 定理 定義域 對數 鈍角 鈍角三角形 多邊形 多面體 二次方程 多項式 二次方根平方根 二次方平方 二進制 二十面體 反餘割 反餘切 反餘弦 反正割 反正切 反正弦 方差 非正態分布 分布 分母 分數 分子 負
複數
高 公理 公式 勾股定理 軌跡 函數 和 橫坐標 弧 弧度 環 積 積分 極限 集合 幾何 計算 加 加權平均數 加數 假設 減 減數 交集 角 角度 階乘 截尾 進位 九邊形 九面體 矩形 矩陣 開方 空集 空間 寬 稜台 稜柱 稜錐
立方體 菱形 零 六邊形 六面體 面 面積 命題 內切圓 內心 排列 旁心 拋物線 平角 平均數 平行 平行六面體 平行四邊形 七邊形 七面體 奇偶性 球 曲線統計圖 全等 權 銳角 銳角三角形 三次方程 三次方根立方根 三次方立方 三角 三角形 扇形 扇形統計圖 商 上捨入 射線 十邊形 十二邊形 十二面體 十進制 十六進制 十面體 十一邊形 十一面體 實數 數 數列級數 數字 雙曲線 四邊形 四次方 四次方程 四次方根 四面體 四捨五入 算術 梯形 體 體積 條形統計圖 統計 圖表 圖象 橢圓 外切圓 外心 微分 微積分 未知數 無理數 無窮大 無窮小 無效數字 五邊形 五面體 係數 下捨入 線 線段 相交 相似 相位 小數 小數點 小於 小於等於 斜邊 行列式 虛數 旋轉 一次方程 映射 有理數 有效數字 餘割 餘切 餘弦 元素 原點 圓 圓台 圓心 圓周 圓周率 圓柱 圓錐 運算 運算符 折線統計圖 振幅 整數 正 正多邊形 正方形 正割 正切 正態分布 正弦 證明 直角 直角邊 直角三角形 直角梯形 直徑 值域 指數冪 重心 周長 周角 周期 周期性 軸 柱形統計圖 子集 自然數 縱坐標 組合 坐標系 坐標軸