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| 有理数 | |
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有理数，指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数（rational number）。有理数的小数部分是有限或循环小数。不是有理数的实数遂称为无理数。
基本信息
中文名 有理数 [1]
外文名 rational number(英文)；λογος(希腊文)
意思 成比例的数，循环有规律的数
分类 整数、分数、小数
名称由来
“有理数”这一名称不免叫人费解，而有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。“有理数”一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。[2]
中国在近代翻译西方科学著作时，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很明显，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。[1]
详细介绍
有理数的认识
有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是密集的，而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
有理数及其分类
有理数的分类按不同的标准有以下两种：
（1）按有理数的定义分类：
有理数
整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 （2）按有理数的性质分类:
（2）按有理数的性质分类: 有理数 正有理数 正整数 正分数
负有理数 负整数
负分数
有理数及其运算
有理数及其运算 相关概念 有理数的分类 数轴 相反数 绝对值 倒数 科学计数法 有理数的大小比较 有理数的运算法则 加、减、乘、除
乘方 混合运算 有理数的运算律 交换律 结合律 分配律 可以用计算器进行运算
基本运算
减法运算
减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数）。
除法运算
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
注意：零除以任意一个不等于零的数，都得零。
零不能做除数和分母。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
乘法运算
（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。
（2）正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
（3）零的零次幂无意义。
（4）由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
（5）任何非0数的0次方都是1。
（6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。如：5的-2次方=1/25
有理数运算定律
加法运算律:
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，
即a+b+c=a+（b+c）。
减法运算律：
（1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+（-b）。
（2）减法结合律：三个数连减，可以先将两个减的数相加，然后再减，差不变，
即：a-b-c=a-（b+c）。
（3）减法交换律：三个数连减，可以调换两个减数的位置，差不变，即：a-b-c
=a-c-b
乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab=ba。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即abc=a（bc）。
（3）乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，
即a（b+c）=ab+ac。
混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算，如果有括号则先计算括号内的。
相关问题
除以零的谬误
在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：a=b。前提a不等于b。
由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。两边除以零，得出0a/0=0b/0。
化简，得：a=b
以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的，并且0 / 0 = a。
代数处理
若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx = a中x的解（若有的话）。若设b = 0，方程式bx = a可写成 0x = a或直接 0 = a。因此，方程bx = a没有解（当a ≠ 0时），但x是任何数值也可解此方程（当a = 0时）。在各自情况下均没有独一无二的数值，所以1未能下定义。
虚假的除法
在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设a/b=ab+，当中b代表b的虚构倒数。这样，若b存在，则b = b；若b等于0，则0 = 0。参见广义逆矩阵。
相关信息
整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示为粗体Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。
在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。
全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
Z是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z,+）同构。