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微分中值定理

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微分中值定理是一系列中值定理總稱,是研究函數的有力工具,其中最重要的內容是拉格朗日定理,可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的關係,應用十分廣泛。


簡介

古希臘數學家在幾何研究中,得到如下結論:「過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底」,這是拉格朗日中值定理的特殊情況。希臘著名數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論,求出拋物線弓形的面積。意大利數學家卡瓦列里(Cavalieri,1598-1647)在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出了處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實:曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦,這是幾何形式的微分中值定理,被人們稱為卡瓦列里定理。

評價

泰勒公式內容 :若函數f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關於(x-x.)多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

(注:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。)

推論:麥克勞林公式

內容:

若函數f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和:

f(x)=f(0)+f'(0)x+f(0)/2!·x^2,+f'(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裡0<θ<1.

達布定理內容:

若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.

推廣:若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。

洛必達法則內容:

設(1)當x→a時,函數f(x)及F(x)都趨於零;

(2)在點a的去心鄰域內,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;

(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼

x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又設

(1)當x→∞時,函數f(x)及F(x)都趨於∞;

(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0;

(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼

x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。[1]

參考文獻