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| 微分中值定理 |
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微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的關係，應用十分廣泛。
簡介
古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：「過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底」，這是拉格朗日中值定理的特殊情況。希臘著名數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物線弓形的面積。意大利數學家卡瓦列里（Cavalieri，1598-1647）在《不可分量幾何學》（1635年）的卷一中給出了處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦，這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。
評價
泰勒公式內容 :若函數f(x)在開區間(a，b)有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於(x-x.)多項式和一個餘項的和:
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
(注:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。)
推論:麥克勞林公式
內容:
若函數f(x)在開區間(a，b)有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f(0)/2!·x^2,+f'(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裡0<θ<1.
達布定理內容:
若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
推廣:若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。
洛必達法則內容:
設(1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨於零;
(2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;
(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那麼
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又設
(1)當x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨於∞;
(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0;
(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那麼
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。[1]