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| 有理數 | |
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有理數，指整數可以看作分母為1的分數。正整數、0、負整數、正分數、負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數（rational number）。有理數的小數部分是有限或循環小數。不是有理數的實數遂稱為無理數。
基本信息
中文名 有理數 [1]
外文名 rational number(英文)；λογος(希臘文)
意思 成比例的數，循環有規律的數
分類 整數、分數、小數
名稱由來
「有理數」這一名稱不免叫人費解，而有理數並不比別的數更「有道理」。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。「有理數」一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是「理性的」。[2]
中國在近代翻譯西方科學著作時，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了「有理數」。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很明顯，就是整數的「比」。與之相對，「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非沒有道理。[1]
詳細介紹
有理數的認識
有理數為整數和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。
有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。
有理數的大小順序的規定：如果a-b是正有理數，當a大於b或b小於a，記作a>b或b<a。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。
有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是密集的，而整數集不是稠密的。將有理數依大小順序排定後，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。
有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。
有理數及其分類
有理數的分類按不同的標準有以下兩種：
（1）按有理數的定義分類：
有理數
整數 正整數 0 負整數 分數 正分數 負分數 （2）按有理數的性質分類:
（2）按有理數的性質分類: 有理數 正有理數 正整數 正分數
負有理數 負整數
負分數
有理數及其運算
有理數及其運算 相關概念 有理數的分類 數軸 相反數 絕對值 倒數 科學計數法 有理數的大小比較 有理數的運算法則 加、減、乘、除
乘方 混合運算 有理數的運算律 交換律 結合律 分配律 可以用計算器進行運算
基本運算
減法運算
減去一個數，等於加上這個數的相反數（符號不同，符號相同的兩個數互為相反數，其中一個數叫做另一個數的相反數）。
除法運算
兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
注意：零除以任意一個不等於零的數，都得零。
零不能做除數和分母。
有理數的除法與乘法是互逆運算。
在做除法運算時，根據同號得正，異號得負的法則先確定符號，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數，一般先化成假分數進行計算。若不能整除，則除法運算都轉化為乘法運算。
乘法運算
（1）負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數。例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。
（2）正數的任何次冪都是正數，零的任何正數次冪都是零。例如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
（3）零的零次冪無意義。
（4）由於乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。
（5）任何非0數的0次方都是1。
（6）一個數的負數次方=此數正數次方的倒數。如：5的-2次方=1/25
有理數運算定律
加法運算律:
（1）加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即a+b=b+a。
（2）加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加，和不變，
即a+b+c=a+（b+c）。
減法運算律：
（1）減法運算律：減去一個數，等於加上這個數的相反數。即：a-b=a+（-b）。
（2）減法結合律：三個數連減，可以先將兩個減的數相加，然後再減，差不變，
即：a-b-c=a-（b+c）。
（3）減法交換律：三個數連減，可以調換兩個減數的位置，差不變，即：a-b-c
=a-c-b
乘法運算律：
（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，即ab=ba。
（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數先乘，或者先把後兩個相乘，積不變，即abc=a（bc）。
（3）乘法分配律：某個數與兩個數的和相乘等於把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加，
即a（b+c）=ab+ac。
混合運算
有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什麼運算，按照「先乘除，後加減」的順序進行，如果是同級運算，則按照從左到右的順序依次計算，如果有括號則先計算括號內的。
相關問題
除以零的謬誤
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：a=b。前提a不等於b。
由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。兩邊除以零，得出0a/0=0b/0。
化簡，得：a=b
以上謬論一個假設，就是某數除以0是容許的，並且0 / 0 = a。
代數處理
若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx = a中x的解（若有的話）。若設b = 0，方程式bx = a可寫成 0x = a或直接 0 = a。因此，方程bx = a沒有解（當a ≠ 0時），但x是任何數值也可解此方程（當a = 0時）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以1未能下定義。
虛假的除法
在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設a/b=ab+，當中b代表b的虛構倒數。這樣，若b存在，則b = b；若b等於0，則0 = 0。參見廣義逆矩陣。
相關信息
整數，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z或，源於德語單詞Zahlen（意為「數」）的首字母。
在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。
全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。
Z是一個加法循環群，因為任何整數都是若干個1或 -1的和。1和 -1是Z僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與（Z,+）同構。