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数列
图片来自人人

数列(sequence of number),是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,以此类推,排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。

著名的数列有斐波那契数列三角函数卡特兰数杨辉三角等。[1]

目录

由来

三角形数

传说古希腊毕达哥拉斯(约公元前580-约公元前500年)[2]学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如,他们研究过:

由于这些数可以用如图1所示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数。

正方形数

类似地,被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形。因此,按照一定顺序排列的一列数称为数列。

概念

函数解释

数列的函数理解:

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式

一般形式

数列的一般形式可以写成简记为{an}。

项数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数

用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别:1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的。

分类

(1)有穷数列和无穷数列:

项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence);项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。

(2)对于正项数列:(数列的各项都是正数的为正项数列)

1)从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7;

2)从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1;

3)从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列(摇摆数列);

(3)周期数列:各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

(4)常数数列:各项相等的数列叫做常数数列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。

公式

(1)通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式,如。数列通项公式的特点:1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一;2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。

(2)递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点:1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。2)有些数列没有递推公式,即有递推公式不一定有通项公式。

等差数列

定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示,前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。

通项公式

an=a1+(n-1)d

其中,n=1时 a1=S1;n≥2时 an=Sn-Sn-1。

an=kn+b(k,b为常数) 推导过程:an=dn+a1-d 令d=k,a1-d=b 则得到an=kn+b。

等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。有关系:A=(a+b)÷2。

前n项和

倒序相加法推导前n项和公式:

Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2。

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:

Sn=n(a1+an)÷2=2na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

性质

(1)任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d,它可以看作等差数列广义的通项公式。

(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*。

(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq。

(4)对任意的k∈N*,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列。

应用

日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。若为等差数列,且有an=m,am=n,则am+n=0。其于数学的中的应用,可举例:快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个,算法不止一种,这里介绍用数列算令等差数列首项a1=24(24为6的4倍),等差d=6;于是令an= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。

等比数列

定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。

等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项

有关系:;。

注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。

通项公式

(其中首项是,公比是q);

(n≥2)。

前n项和

当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为:;

当q=1时,等比数列的前n项和的公式为:;

前n项和与通项的关系:;(n≥2)。

性质

(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则;

(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:

(4)等比中项:q、r、p成等比数列,则,则为等比中项。

记,则有。

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5) 等比数列前n项之和;

(6)任意两项的关系为;

(7)在等比数列中,首项与公比q都不为零。

应用

等比数列在生活中也是常常运用的。如:银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。

等和数列

等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。

对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列,它的性质是:必定是循环数列。

参考文献