全等

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若兩個幾何圖形的形狀相同且大小相等，則稱這兩個圖形是全等的圖形。全等是相似的一種特例。當相似比為1時，兩圖形全等。

中文名:全等

外文名C:ongruent

相 關:全等三角形

基本解釋:兩個圖形形狀相同且大小相等

學 科:幾何數學

表 示:≌

目錄

概念

在數學上，兩個圖形可以完全重合，或者說兩個物體形狀相同且大小相等，那麼這兩個圖形全等。「全等」用符號「≌」表示，讀作「全等於」。（例：△ABC≌△A『B』C『，讀作三角形ABC全等於三角形A『B』C』）

兩個多邊形全等，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合角的叫對應角。

釋義

全等共分為三種：平移型、旋轉型和對稱型。值得注意的是全等並不一定相同。在二維中相同只有平移和旋轉重合才是。摺疊重合在二維平面中並不相同。

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性質

在數學中，全等一般是指全等三角形。全等三角形是指兩個形狀相同的三角形。全等三角形的對應角相等、對應邊相等。

注意：

(1)性質中三角形全等是條件，結論是對應角、對應邊相等。而全等的判定卻剛好相反；

(2)利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在描述兩個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序寫一致，為找對應邊，角提供方便。

(3)一個圖形經過翻折、平移和旋轉變換所得到的新圖形一定與原圖形全等。反過來，兩個全等的圖形經過上述變換後一定可以互相重合。

判定

平面三角形

判定公理

若要判定兩三角形全等，則在三邊、三角共6個元素中，必須要已知至少3個對應相等。

(1)三組對應邊分別相等的兩個三角形全等「邊邊邊」簡稱「SSS」；

(2)有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等「邊角邊」簡稱「SAS」 ；

(3)有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等「角邊角」簡稱「ASA」；

(4)有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等「角角邊」簡稱「AAS」；

(5)在直角三角形中，斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等「斜邊、直角邊」簡稱「HL」（直角三角形）。

常見誤區

在全等的判定中，沒有AAA（角角角）和SSA（邊邊角，即兩邊及其對角），這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。

對於AAA來說，已知兩個三角形兩組對應角相等，則由三角形內角和為180°可得第三個角也對應相等，實際上只有兩個元素對應相等，元素不足無法判定。

SSA 「邊邊角」，有三種情況可證明此三角形全等：

(1)相等的角為鈍角；

(2)相等的角為直角；

(3)相等的角的對邊最長。

球面三角形

以下均指在同球面或等球面中的兩個球面三角形：

如果球面三角形的三個邊分別對應相等，則兩個球面三角形分別對應相等（SSS）；

如果球面三角形的兩邊與它們的夾角分別對應相等，則兩個球面三角形全等（SAS）；

如果球面三角形的兩角與它們的夾邊分別對應相等，則兩個球面三角形全等（ASA） ；

如果球面三角形的三個角分別對應相等，則兩個球面三角形分別對應相等（AAA）；

對球面三角形而言，AAS不成立，而AAA成立，因為內角和是個不定值。