全等

全等原图链接图片来源优酷网

若两个几何图形的形状相同且大小相等，则称这两个图形是全等的图形。全等是相似的一种特例。当相似比为1时，两图形全等。

中文名:全等

外文名C:ongruent

相 关:全等三角形

基本解释:两个图形形状相同且大小相等

学 科:几何数学

表 示:≌

目录

概念

在数学上，两个图形可以完全重合，或者说两个物体形状相同且大小相等，那么这两个图形全等。“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。（例：△ABC≌△A‘B’C‘，读作三角形ABC全等于三角形A‘B’C’）

两个多边形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合角的叫对应角。

释义

全等共分为三种：平移型、旋转型和对称型。值得注意的是全等并不一定相同。在二维中相同只有平移和旋转重合才是。折叠重合在二维平面中并不相同。

全等原图链接图片来源优酷网

性质

在数学中，全等一般是指全等三角形。全等三角形是指两个形状相同的三角形。全等三角形的对应角相等、对应边相等。

注意：

(1)性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反；

(2)利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在描述两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

(3)一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。

判定

平面三角形

判定公理

若要判定两三角形全等，则在三边、三角共6个元素中，必须要已知至少3个对应相等。

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”；

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS” ；

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”；

(4)有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”；

(5)在直角三角形中，斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”（直角三角形）。

常见误区

在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角，即两边及其对角），这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

对于AAA来说，已知两个三角形两组对应角相等，则由三角形内角和为180°可得第三个角也对应相等，实际上只有两个元素对应相等，元素不足无法判定。

SSA “边边角”，有三种情况可证明此三角形全等：

(1)相等的角为钝角；

(2)相等的角为直角；

(3)相等的角的对边最长。

球面三角形

以下均指在同球面或等球面中的两个球面三角形：

如果球面三角形的三个边分别对应相等，则两个球面三角形分别对应相等（SSS）；

如果球面三角形的两边与它们的夹角分别对应相等，则两个球面三角形全等（SAS）；

如果球面三角形的两角与它们的夹边分别对应相等，则两个球面三角形全等（ASA） ；

如果球面三角形的三个角分别对应相等，则两个球面三角形分别对应相等（AAA）；

对球面三角形而言，AAS不成立，而AAA成立，因为内角和是个不定值。