实数
实数，可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。[1] 无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
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目录
基本信息
基本介绍
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数） 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离） 实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时， |a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数
历史来源
埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。
直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。
实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
相关定义
1.实数由有理数构造
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
2.公理的方法
设 R 是所有实数的集合，则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 √2 不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
相关性质
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
实数集有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b.
实数的传递性
实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.
实数的阿基米德性
实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.
实数的稠密性
实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.
实数唯一性
如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
“完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。
实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。
由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；
2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。
拓扑性质
实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
R 是可分空间。
Q 在 R 中处处稠密。
R的开集是开区间的联集。
R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个R中的有界序列都有收敛子序列。
R是连通且单连通的。
R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
相关介绍
扩展与一般化
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。
数学名词
八边形 八面体 百分比 百分点 百分位数 半径 半球 半圆 被乘数 被除数 被加数 被减数 比 比例 边 变量 标准差 表面积 并集 补集 不等边三角形 不等式 不定积分 差 长 常量 乘 乘方 乘数 除 除数 垂心 次方 次方根 大于 大于等于 代数 单调性 单项式 导数 等边三角形 等式方程式 等腰三角形 等腰梯形 等于 底 底面 点 定积分 定理 定义域 对数 钝角 钝角三角形 多边形 多面体 二次方程 多项式 二次方根平方根 二次方平方 二进制 二十面体 反余割 反余切 反余弦 反正割 反正切 反正弦 方差 非正态分布 分布 分母 分数 分子 负 复数
高 公理 公式 勾股定理 轨迹 函数 和 横坐标 弧 弧度 环 积 积分 极限 集合 几何 计算 加 加权平均数 加数 假设 减 减数 交集 角 角度 阶乘 截尾 进位 九边形 九面体 矩形 矩阵 开方 空集 空间 宽 棱台 棱柱 棱锥 立方体 菱形 零 六边形 六面体 面 面积 命题 内切圆 内心 排列 旁心 抛物线 平角 平均数 平行 平行六面体 平行四边形 七边形 七面体 奇偶性 球 曲线统计图 全等 权 锐角 锐角三角形 三次方程 三次方根立方根 三次方立方 三角 三角形 扇形 扇形统计图 商 上舍入 射线 十边形 十二边形 十二面体 十进制 十六进制 十面体 十一边形 十一面体 实数 数 数列级数 数字 双曲线 四边形 四次方 四次方程 四次方根 四面体 四舍五入 算术 梯形 体 体积 条形统计图 统计 图表 图象 椭圆 外切圆 外心 微分 微积分 未知数 无理数 无穷大 无穷小 无效数字 五边形 五面体 系数 下舍入 线 线段 相交 相似 相位 小数 小数点 小于 小于等于 斜边 行列式 虚数 旋转 一次方程 映射 有理数 有效数字 余割 余切 余弦 元素 原点 圆 圆台 圆心 圆周 圆周率 圆柱 圆锥 运算 运算符 折线统计图 振幅 整数 正 正多边形 正方形 正割 正切 正态分布 正弦 证明 直角 直角边 直角三角形 直角梯形 直径 值域 指数幂 重心 周长 周角 周期 周期性 轴 柱形统计图 子集 自然数 纵坐标 组合 坐标系 坐标轴