布朗運動
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布朗運動（Brownian motion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變量。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程[1] 、鞅過程和伊藤過程。
它是在西元1827年英國植物學家羅伯特•布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。
目錄
定義
自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：
- 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
- 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
- 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
- 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
- 粒子的運動永不停止。
對於布朗運動之誤解
值得注意的是，布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動，而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。
一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特•布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。
在日本，以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辭典』、花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理學原論（上）』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。
直到1973年橫浜市立大學名譽教授植物學者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。
愛因斯坦的理論
在1905年，愛因斯坦提出了相關理論。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德羅定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德羅常數」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德羅常數等同原子量。
愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。因此，愛因斯坦將之簡化，即討論一個布朗粒子團的運動。
他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值（Delta 或者 x，並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出概率密度函數 varphi(\Delta)。另外，他假設粒子的數量有限，並擴大了密度（單位體積內粒子數量)，展開成泰勒級數 。
性質
- 布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何scriptstyle \omega\in \Omega,軌道scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)為一個連續但是零可微的函數。
- 協方差scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)。
- 布朗運動具有強馬氏性： 對於停時T,取條件scriptstyle [T < \infty ],過程scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}為一個獨立於scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}的布朗運動。
- 它的Fourier變換或特徵函數為scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}}。可見，布朗運動是一個無偏，無跳躍，二項係數為1/2的Levy過程。
- 布朗運動關於時間是齊次的： 對於s > 0,scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}是一個獨立於scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}的布朗運動。
- -B是一個布朗運動。
- （穩定性） 對於c > 0，scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}是布朗運動。
- （時間可逆性）scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}在t=0之外是布朗運動。
- （常返性）只有1維和2維布朗運動是常返的：
- 如果scriptstyle d\in \{1,2\},集合<math>\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}不是有界的，對於任何scriptstyle x\in \mathbb R^d，
- 如果scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty（幾乎處處）。
- （反射原理）
- mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].
布朗運動的數學構造
利用Kolmogorov一致性定理
設(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}為L^2({\mathbb{R}}_+)空間中一列實值函數。設：
forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx
這列函數滿足：
forall k\in\mathbb{N}^*，任意的t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+,矩陣left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}為對稱半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理，我們可以構造高斯過程{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}，它的均值m任意， 協方差為上面定義的s。
當(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}，c>0為不依賴於t的常數，1\!\!1_{[0,t]}為[0,t]上的示性函數。則：
s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)
在這個情況下，矩陣left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}是對稱且正定的。
我們稱一個高斯過程為 布朗運動當且僅當均值為0，協方差為s。c = Var(B_1)，當c = 1時， 稱之為 標準的布朗運動.
利用隨機過程
Donsker定理（1951）證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。
- left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}
其中（Un, n ≥ 1） 獨立同分布， 均值為0,方差為σ的隨機變量序列。
利用傅立葉級數
設2列獨立的正態scriptstyle \mathcal N(0,1)隨機變量序列scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)和scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)。定義scriptstyle (B_t)_{t\geq0}：
- B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)
為布朗運動。