波函數

在量子力學里，量子系統的量子態可以用波函數（英語：wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種波動方程式，因此，波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。

波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一種複值函數，表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 的機率幅，它的絕對值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。

波函數的概念在量子力學裡非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自于波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。

目錄

歷史

在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定諤方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。

1927年，道格拉斯·哈特里（Douglas Hartree）與弗拉基米爾·福克（Vladimir Fock）在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。

薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ，無法淮確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。

1926年，奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）和沃爾特·戈爾登（Walter Gordon）將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式。

1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。

位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 <math>\Psi(x,t)</math> ；其中，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在區間 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le x\le b</math> ）的機率<math>P_{a\le x\le b}</math>為

<math>P_{a\le x\le b} = \int\limits_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ；

其中，<math>t</math> 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說，<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、時間 <math>t</math> 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。

動量空間波函數

在動量空間，粒子的波函數表示為 <math>\Phi(p,t)</math> ；其中，<math>p</math> 是一維動量，值域從 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 <math>p</math> 在區間 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le p\le b</math> ）的機率為

<math>P_{a\le p\le b} = \int\limits_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：

<math> \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。

兩種波函數之間的關係

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為

<math>\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、

<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。

薛丁格方程式

在一維空間裡，運動於位勢 <math>V(x)</math> 的單獨粒子，其波函數滿足含時薛丁格方程式

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ；

其中，<math>m</math> 是質量，<math>\hbar</math> 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函數形式為

<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>E</math> 是分離常數，稍加推導可以論定 <math>E</math> 就是能量，<math>\psi_E(x)</math> 是對應於 <math>E</math> 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。

波函數的概率詮釋

波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在該處出現的概率密度，並且具有歸一性，全空間的積分

<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。

波函數的另一個重要特性是相干性。兩個波函數迭加，概率的大小取決於兩個波函數的相位差，類似光學中的楊氏雙縫實驗。

波函數的本徵值和本徵態

在量子力學中，可觀察量 <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出現。<math>\hat{A}</math> 代表對于波函數的一種運算。例如，在位置空間裡，動量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式為

<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。

可觀察量 <math>A</math> 的本徵方程式為

<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。

對應的 <math>a</math> 稱為算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵值，<math>\psi</math> 稱為算符 <math>\hat{A}</math> 的本徵態。假設對於 <math>\hat{A}</math> 的本徵態 <math>\psi</math> 再測量可觀察量 <math>A</math> ，則得到的結果是本徵值 <math>a</math> 。

態迭加原理

假設對於某量子系統測量可觀察量 <math>A</math> ，而可觀察量 <math>A</math> 的本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分別擁有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態 <math>|\psi\rang</math> 也可以是這量子系統的量子態：

<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ；

其中， <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分別為疊加態處於本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的機率幅。

假設對這疊加態系統測量可觀察量 <math>A</math> ，則測量獲得數值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的機率分別為 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ，期望值為

<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。

定態

在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符 <math>\hat{H}</math> 不含時間的情況。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分離成一個只與位置有關的函數 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一個只與時間有關的函數 <math>f(t)</math> ：

<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。

將這公式代入薛定諤方程，就會得到

<math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。

而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 則滿足本徵能量薛丁格方程式：

<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。

例子

自由粒子

3D空間中的自由粒子，其波矢 為k ， 角頻率 為ω，其波函數為：

<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>

無限深方形阱

粒子被限制在x = 0和x L之間的1D空間中，其波函數為:

<math>\begin{align}

\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\ \Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\ \end{align} </math>

其中，<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值，<math>n</math>是正整數，<math>m</math>是質量。

有限位勢壘

在1D情況下，粒子處於如下勢壘中：

<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>

其波函數的定態解為(<math>k, \kappa</math>為常數)

<math>\psi (x) = \begin{cases}

A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a. \end{cases} </math>

量子點

量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體納米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢（由外部的電極，摻雜，應變，雜質產生），兩種不同半導體材料的界面（例如：在自組量子點中），半導體的表面（例如：半導體納米晶體），或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函數在空間上位於量子點中，但延伸於數個晶格周期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述，能級位置取決於勢阱寬度。

參閱

• 波包