1，如果 n 是合数，则它有一个因子d 满足1 < d ≤<math>\sqrt{n}</math> √n 。

2， 一个 如果 自然数n是 一个 素数 ， 当且仅 当n 当它 不能被不大于<math>\sqrt{n}</math> √n 任何素数整除。   可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：   公式形式： <math>n=p_{1}m_{1}P₁M₁+a_{1}A₁=p_{2}m_{2}P₂M₂+a_{2}A₂=\dots。.=p_{k}m_{k}PrMr+a_{k}.</math>.....Ar。。。。。.(1) 其 中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math> 中P₁，P₂，。。，Pr 表示顺序素数2，3，5，.... 。<math>a</math> 。。Ai ≠0。 若<math>n<P这样解得的n，若n＜P^{2}_{k2r+1}</math>, ₁， 则n是一个素数。 我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示 ： n≡A₁(modP₁)，n≡A₂(modP₂)，。.n≡Ar(modPr)。。。。.（2） 由于（2）的模P₁，P₂，，。.，Pr都是素数，因此两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的A₁，A₂，，。。，Ar，（2）式在P₁P₂。.Pr范围内有唯一解。 人类为了寻找这个公式，花费了2000多年。

k=1时 ，，n=2m<mathsub>n=2m_{1}</sub>+1</math>，解得n=3，5，7。求得了（3，3 ^² ）区间的全部素数。

k=2时 ，，n=2m<mathsub>n=2m_{1}</sub>+1=3m_{3m_{2}+1</mathsub> +1 ，解得n=7，13，19； n=2m<mathsub>n=2m_{1}}+1=3m_{2}+3m<sub>2</mathsub> +2 ，

! k=3时!!5m<mathsub>5m_{3}+1</mathsub> +1 !! 5m<mathsub>5m_{3}+2</mathsub> +2 !! 5m<mathsub>5m_{3}+3</mathsub> +3 !! 5m<mathsub>5m_{3}+4</mathsub> +4

| n=2m<mathsub>n=2m_{1}</sub>+1=3m_{3m_2}+1=</math> || 31 || 7,37 || 13,43 || 19

| n=2m<mathsub>n=2m_{1}</sub>+1=3m_{3m<small>2}</small>+2=</math> || 11,41 || 17,47 || 23 || 29

对于所有可能 的的a<mathsub>a_{1}</sub>, a_{a_{2} \cdot}， .... , a_{a<sub>k}</mathsub>值，(1)和(2)式 在在p<mathsub>p_{1}</mathsub>p<mathsub>p_{2}</mathsub>...p<mathsub>p_{k}</mathsub>范围内，

有 （（p<mathsub>p_{1}-1</mathsub> -1 ） （（p<mathsub>p_{2}-1</mathsub> -1 ）(<mathp<sub>p_{3}-1</mathsub>-1)... （（p<mathsub>p_{k}-1</mathsub> -1 ）