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若两个几何图形的形状相同且大小相等,则称这两个图形是全等的图形。全等是相似的一种特例。当相似比为1时,两图形全等。

中文名:全等

外文名C:ongruent

相 关:全等三角形

基本解释:两个图形形状相同且大小相等

学 科:几何数学

表 示:≌

概念

在数学上,两个图形可以完全重合,或者说两个物体形状相同且大小相等,那么这两个图形全等。“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”。(例:△ABC≌△A‘B’C‘,读作三角形ABC全等于三角形A‘B’C’)

两个多边形全等,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合角的叫对应角。

释义

全等共分为三种:平移型旋转型对称型。值得注意的是全等并不一定相同。在二维中相同只有平移和旋转重合才是。折叠重合在二维平面中并不相同。

性质

在数学中,全等一般是指全等三角形。全等三角形是指两个形状相同的三角形。全等三角形的对应角相等对应边相等

注意:

(1)性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反;

(2)利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在描述两个三角形全等时,一定把对应的顶点的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。

(3)一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。反过来,两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。

判定

平面三角形

判定公理

若要判定两三角形全等,则在三边、三角共6个元素中,必须要已知至少3个对应相等。

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”;

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS” ;

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”;

(4)有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”;

(5)在直角三角形中,斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”(直角三角形)。 [1]

常见误区

在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角,即两边及其对角),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

对于AAA来说,已知两个三角形两组对应角相等,则由三角形内角和为180°可得第三个角也对应相等,实际上只有两个元素对应相等,元素不足无法判定。

SSA “边边角”,有三种情况可证明此三角形全等:

(1)相等的角为钝角

(2)相等的角为直角

(3)相等的角的对边最长。 [2]

球面三角形

以下均指在同球面等球面中的两个球面三角形:

如果球面三角形的三个边分别对应相等,则两个球面三角形分别对应相等(SSS);

如果球面三角形的两边与它们的夹角分别对应相等,则两个球面三角形全等(SAS);

如果球面三角形的两角与它们的夹边分别对应相等,则两个球面三角形全等(ASA) ;

如果球面三角形的三个角分别对应相等,则两个球面三角形分别对应相等(AAA);

对球面三角形而言,AAS不成立,而AAA成立,因为内角和是个不定值。

视频

全等三角形的综合1

参考文献

  1. [无.初中数学 七年级上册:人民教育出版社,2016年12月]
  2. [无.三角形:从全等到相似/数学奥林匹克小丛书(初中卷):华东师范大学出版社,2005年1月]