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数学(英語 math )是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从选定的公理及定义中建立起严谨推导出的定理。

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一环。对数学基本概念的完善，早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本便可观见，而在古希腊那里有更为严谨的处理。从那时开始，数学的发展便持续不断地小幅进展，至16世纪的文艺复兴时期，因为新的科学发现和数学革新两者的交互，致使数学的加速发展，直至今日。数学并成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。

今日，数学使用在不同的领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。虽然许多研究以纯数学开始，但其过程中也发现许多应用之处。

历史

数学有着久远的历史。它被认为起源于人类早期的生产活动：中国古代的六艺之一就有“数”，数学一词在西方有希腊语词源μαθηματικός（mathematikós），意思是“学问的基础”，源于μάθημα（máthema，“科学，知识，学问”）。

史前的人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系，比如时间单位有日、季节和年等。算术（加减乘除）也自然而然地产生了。古代的石碑及泥版亦证实了当时已有几何的知识。

数学的各领域

如上所述，数学主要的学科最先产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化（即算术、代数、几何及分析）等数学上广泛的子领域相关连着。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论（基础）、至不同科学的经验上的数学（应用数学）、及较近代的至不确定性的严格研究。

数学命题证明的逻辑基础

数学思维必须符合逻辑；

1，演绎证明某事肯定是这样；

2，归纳说明某事在实际上是有效的；

3，溯因仅仅表明某事可能是。

所以溯因是推理中较弱的一种形式。

溯因整理成为一个命题叫做猜想。我们证明一个数学命题就是一种整体上弱势溯因推理，每一个局部需要强势演绎推理，于是困难就出现了，这超出了人类解决问题的能力！ 况且，，一个事实可能有多种原因，我们要找到那个必然的原因，并且用演绎推理证明就是它。好比盲人摸象。 我们讲的溯因逻辑和我们说的演绎逻辑和归纳逻辑有什么关系？ 演绎是从一般到特殊，归纳是从很多特殊到某一个一般。但是，溯因逻辑是从一个现象或者一个结果，反推出可能存在的原因。而证明数学命题就是把弱势的溯因推理用绝对强度演绎推理完成。 当有了足够强大的演绎推理组成的溯因推理，才能够有足够的最佳解释。 人永远需要理由，解释永远需要解释来解释。数学家用公理把数学推理的无穷退后阻断，防止无休止的循环论证。公理让数学有了合法性。

数学的层次

数学第一层次是数学事实，例如3和5都是素数；

数学第二层次是数学概念，概念是将事实归纳成为一个系统性的含义。例如“孪生素数”；指两个相差2的素数。

数学第三个层次是数学定理，从数学概念到数学定理需要证明。例如欧几里得素数有无穷多个就是一条定理。例如命题“孪生素数有无穷多”，就是还没有得到证明的。

数学第四个层次是数学理论。例如【初等数论】，包括了一系列概念、定理、公式、图像、函数。

第一个层次不会自动上升到第三个层次，必须借助第二个层次即概念，通过演绎法证明完成。

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