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在数学中，六素数（sexy prime）是相差为 6 的素数偶 (p, p + 6)。例如数 5 和 11 都是素数且差为 6。如果 p + 2 或 p + 4 也是素数，则六素数是素数三元组的一部分。
六素数的英文 "sexy prime" 源于拉丁语六：sex。
类型
六素数偶
500之下的六素数（OEIS 中数列Template:OEIS2C 与 Template:OEIS2C) 有：
- (5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467).
截至2009年5月，已知最大六素数是肯·戴维斯（Ken Davis）找到的，有 11593 位。这组素数 (p, p+6) 是
- p = (117924851×587502×9001#×(587502×9001#+1)+210)×(587502×9001#−1)/35+5.[1]
六素数三元组
六素数可扩张成更大的组合。素数三元组 (p, p + 6, p + 12) 使得 p + 18 是合数称为 六素数三元组。1000 以下的六素数三元组是 (Template:OEIS2C、Template:OEIS2C、Template:OEIS2C)：
- (7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983).
截至2006年4月，最大已知六素数三元组由肯·戴维斯找到，有5132位：
- p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1.[2]
六素数四元组
六素数四元组 (p, p + 6, p + 12, p + 18) 在十进制下只能以最后一位为 1 的素数开始（除去 p = 5 的四元组）。1000 以下的六素数四元组是 (Template:OEIS2C、Template:OEIS2C、 Template:OEIS2C、Template:OEIS2C)：
- (5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).
截至2005年11月，已知最大六素数四元组由 Jens Kruse Andersen 找到，有 1002 位：
- p = 411784973 · 2347# + 3301.[3]
六素数五元组
在一个公差为 6 的五项等差数列中，因为 6 > 5 且这两个数互素，必有一项被 5 整除。从而惟一的六素数五元族是 (5,11,17,23,29)，不可能有更长六素数序列了。
六素数孪生素数的公式
已经知道定理：
“若自然数R与R+6都不能被不大于<math>\sqrt{R+6}</math>任何素数
整除，则R与R+6都是素数，我们称为相差6的孪生素数”。这是依据素数判定法则得出的。 这句话本身可以用一个公式。
相差6的孪生素数公式
<math>R=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+e_{k}.</math>(1)
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>e_{i}</math>≠0,<math>e_{i}</math>≠<math>p_{i}-6</math>。
若<math>R<P^{2}_{K+1}-6</math>,则R与R+6是一对相差6的孪生素数。
我们可以把（1）式内容等价转换成为同余式组表示：
- <math>R \equiv e_1 \pmod{p_1}, R \equiv e_2 \pmod{p_2}, \dots, R \equiv e_k \pmod{p_k} (2)</math>
由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的e值，（2）在
<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。
例如，k=2时，
<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得R=7，13； 13<5²-6。得知7与7+6,13与13+6都是相差6的孪生素数。
<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得R=5，11，17； 17<5²-6。得知5与5+6,11与11+6，17与17+6都是相差6的孪生素数
求得了（3，5²）区间的全部相差6的孪生素数R。
| k=3时 | <math>5m_{3}+1</math> | <math>5m_{3}+2</math> | <math>5m_{3}+3</math> |
|---|---|---|---|
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>= | 31 | 7,37 | 13 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= | 11,41 | 17 | 23 |
求得了（5，7²）区间的全部相差6的孪生素数中的R。
| k=4时 | <math>7m_{4}+2</math> | <math>7m_{4}+3</math> | <math>7m_{4}+4</math> | <math>7m_{4}+5</math> | <math>7m_{4}+6</math> |
|---|---|---|---|---|---|
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+1</math>= | 121 | 31 | 151 | 61 | 181 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>= | 37 | 157 | 67 | 187 | 97 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>= | 163 | 73 | 193 | 103 | 13 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= | 191 | 101 | 11 | 131 | 41 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= | 107 | 17 | 137 | 47 | 167 |
| <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+3</math>= | 23 | 143 | 53 | 73 | 83 |
求得了（7,<math>11^{2}</math>）区间的全部相差6的孪生素数中R（小于121-6的18个数值）, 仿此下去可以求得任意大的数以 内的全部相差6的孪生素数。并且一个不漏地求得。由孙子定理知，对于所有可能的<math>a_{1}, a_{2} \cdot , a_{k}</math>值， (1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）个解. 两式的本质是从<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 中剔除掉<math>p_{i}m_{i}</math>（m>1)的合数和<math>p_{1}-6</math>，<math>p_{2}-6</math>，...，<math>p_{k}-6</math>.
切比雪夫证明了“<math>p^{2}_{k+1}</math><<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>由k>3都是
正确的，<math>5^{2}</math>>2×3，<math>7^{2}</math>>2×3×5，而<math>11^{2}</math><2×3×5×7。从11开始都是这样了。（参见[数学欣赏]汉斯拉德海著220页“数30的
一个性质”北京出版社1981.6）所以，若K≥4时，（1）（2）式的计算结果只能取<math>p^{2}_{k+1}</math>以内的值才是素数。相差6的孪生素数猜想就是说，在k任意大时都有小于<math>P^{2}_{K+1}-6</math>的解
。
六素数三元组公式
我们把定理： “若自然数R-6和R和R+6不能被不大于<math>\sqrt{R+6}</math>的任何素数整除，则R-6和都是素数，称为相差6的 三生素数组”。我们将相差6的三生素数组用公式表达为：
<math>R=p_{1}m_{1}+d_{1}=p_{2}m_{2}+d_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+d_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (5)</math>
中<math>d_{i} \neq 0</math>，<math>d_{i} \neq 6</math>，<math>b_{i} \neq p_{i}-6</math>（保证<math>R-6,
R, R+6</math>都不能被任一个素数整除），<math>1 \le d_{i} \le p_{i} - 1</math>。
同样我们可以把（5）式等价转换成为线性同余式组： <math>R \equiv d_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv d_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv d_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (6)</math>
由于这类同余式组的模两两互素，根据孙子定理，我们知道（6）式在给定值时在有唯一解。 利用（5）式或（6）式）可以构造区间上的一切相差6的三生素数组。 例题． 例如k=2时，<math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得<math>R=11, 17, </math>。这二个素数都满足 <math>R<p^{2}_{k+1}-6</math>的条件：<math>11, 17<5^2-6</math>，因此，这三个素数所对应的素数组： 11-6，11与11+6；
17-6，17与17+6；
都是三胞胎素数组。 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得<math>R=13, </math>。这个素数都满足<math>R<p^{2}_{k+1}-6</math>的 条件：<math> 13<5^2-6</math>，因此，这个素数所对应的素数组： 13-6，13，13+6. 这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部相差6的三胞胎素数。 根据孙子定理知（5）式（6）式，对于所有的<math>b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{k}</math>，（6）式 在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围共有（2－1）×（3－1）×（5－3）×（7－3）×...×（<math>P_{k}</math>－3）个解，仿此下去可以求 得任意大的数以内的全部相差6的三生素数。并且一个不漏地求得，不会混入一个合数。
六素数四元组
我们可以依照上面的方法照此类推：
“若自然数<math>R-9</math>,<math>R-3 </math>，<math>R+3 </math>，<math>R+9</math>不能被不大于<math>\sqrt{R+9}</math>任何素数整除，则<math>R-9</math>,<math>R-3 </math>，<math>R+3 </math>，<math>R+9</math>都是素数，我们称为相差6的素数四元组”。
<math>R=p_{1}m_{1}+c_{1}=p_{2}m_{2}+c_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+c_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (7)</math>
中<math>c_{i} \neq 3</math>，<math>c_{i} \neq 9</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-3</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-9</math>
（保证<math>R-9,
R-3, ,R+3,R+9</math>都不能被任一个素数整除），<math>0 \le c_{i} \le p_{i} - 1</math>。 这个素数都满足<math>R<p^{2}_{k+1}-9</math>
则R-9,R-3,R+3,R+9都是素数。
同余式组： <math>R \equiv c_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv c_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv c_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (8)</math>
例如，k=2时，<math>R=2m_{1}+0=3m_{2}+2</math>，解得<math>R=14 </math>。满足<math>14<5^{2}-9</math> 得知，14-9,14-3,14+3,14+9是一组六素数四元组。 k=3时，<math>R=2m_{1}+0=3m_{2}+2=5m_{2}+0</math>，解得<math>R=20 </math>.满足<math>20<7^{2}-9</math>
得知，<math>20-9</math>,<math>20-3 </math>，<math>20+3 </math>，<math>20+9</math>是一组六素数四元组。
六素数五元组
“若自然数R-12,R-6,R,R,R+6,R+12不能被不大于<math>\sqrt{R+12}</math>任何素数整除，则R-12,R-6,R,R+6,R+12都是素数，我们称为相差6的素数五元组”。 <math>R=p_{1}m_{1}+f_{1}=p_{2}m_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+f_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (9)</math> <math>R \equiv f_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv f_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv f_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (10)</math>
例子
- ↑ Ken Davis, "11593 digit sexy prime pair". Retrieved 2009-05-06.
- ↑ Jens K. Andersen, "The largest known CPAP-3". Retrieved 2009-01-27.
- ↑ Jens K. Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Retrieved 2009-01-27.