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割线

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中文名;割线

相关定律;割线定理、切割线定理

用途;有关于圆的题

定义;一条直线与一条弧线有两个公共点

一条直线与一条弧线有两个公共点,我们就说这条直线是这条曲线的割线。 与割线有关的定理有:割线定理、切割线定理。常运用于有关于圆的题中。[1]

从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

从圆外一点P引两条割线与圆分别交于C,B,D,E,则有 PC·PB=PD·PE。如图1所示。(PA是切线)

割线定理为圆幂定理之一(切割线定理推论),其他二为切割线定理和相交弦定理

证明

如图2,直线PB和PE是自点P引的⊙O的两条割线,则PC·PB=PD·PE。

证明:连接CE、DB,

∵∠E和∠B都对弧CD,

∴由圆周角定理,得 ∠E=∠B。

又∵∠EPC=∠BPD,

∴△PCE∽△PDB,

∴PC:PD=PE:PB, 也就是PC·PB=PD·PE。

比较

割线定理与相交弦定理,切割线定理通称为圆幂定理。

从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言

∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线,

∴PT的平方=PA·PB(切割线定理)推论

从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

∵PBA,PDC是⊙O的割线,

∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)。

由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD。

证明

设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT2=PA·PB

证明:连接AT, BT。

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理),

∠P=∠P(公共角)。

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)。

则PB:PT=PT:AP。

即:PT2=PB·PA。

比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。

解析割线

人们研究复数域上的解析函数时,常常需要研究函数在整个复平面的性质。然而,有些解析函数定义在复平面上时,表现出多值的性质,这样的函数往往从一个点经过某些曲线回到这个点时,解析变化的函数值会跑到多值中另外的值上面。这样的函数一方面可以采用黎曼曲面作为定义域,使得函数变为单值,另一方面,也可人为地在复平面上画上一条线将复平面合适地割开,使得未被割开的区域内具有单值解析函数的良好性质。这样的人为划出的避免函数解析变化必然出现多值的线就叫割线。

参考来源

导数的概念!割线与切线之间的秘密,以及切线斜率的计算公式

参考资料

  1. 割线的各种方法 ,百度 , 2013-12-04