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弦切角定理

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中文名;弦切角定理

外文名;Alternate Segment Theorem


應用學科;數學

適用領域範圍;數學

弦切角定理:弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角度數的一半,等於它所夾的弧所對的圓周角度數。

與圓相切的直線,同圓內與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角。[1]

弦切角定義

頂點在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角

如圖1所示,線段PT所在的直線切圓O於點C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。

弦切角定理:弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角度數的一半。

等於它所夾的弧的圓周角度數。

如圖2,已知:直線PT切圓O於點C,BC、AC為圓O的弦。

求證:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

證明:設圓心為O,連接OC,OB,。

∵∠OCB=∠OBC

∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC

∴∠OCB=90°-∠BAC

∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

綜上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生及證明

已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切線,A為切點,弧CmA是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證:弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半

證明:分三種情況:

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA為半圓,

∴弧CmA的度數為180°

∵AB為圓的切線

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半

(2)圓心O在∠BAC的內部.

過A作直徑AD交⊙O於D,在優弧m所對的劣弧上取一點E,

連接EC、ED、EA。則

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圓O的直徑

∴∠DEA=90°

∵AB為圓的切線

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度數等於弧CmA的度數的一半

弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半

(3)圓心O在∠BAC的外部

過A作直徑AD交⊙O於D,連接CD

∵AD是圓的直徑

∴∠ACD=90°

∴∠CDA+∠CAD=90°

∵AB是圓O的切線

∴∠DAB=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

∴∠BAC=∠CDA

∵∠CDA的度數等於弧CmA的度數的一半。

∴弦切角∠BAC的度數等於它所夾的弧的度數的一半。

逆定理

定理:以三角形任意一條邊為鄰邊,在三角形外部作一個角等於該邊的對角,那麼所作角的另一邊與三角形外接圓相切,切點為所作角的頂點。

幾何描述:設△ABP的外接圓為⊙O,在△ABP外部作∠BAC=∠BPA,則AC切⊙O於A。

注意定理的描述,所作角必須在三角形的外部,且該角與三角形有公共的邊。

該定理的等價描述為:角的度數等於所夾弧所對圓周角的角為弦切角。

幾何描述:設直線AC與圓相交於A,AB是圓的一條弦,P是圓上與A,B不重合的點。若∠BAC=∠BPA,則∠BAC是弦切角,即AC與圓相切於A。

證明:如圖3,同樣分類討論

(1)當∠BPA=90°時,AB為直徑。

∠BAC=∠BPA=90°,即AB⊥AC

經過直徑的一端,並且與直徑垂直的直線是圓的切線,∴AC是⊙O的切線,切點為A。

(2)當∠BPA<90°時,作直徑AD,連接PD,則∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

即∠DAC=∠DPA=90°

由(1)得AC與⊙O切於A

(3)當∠BPA>90°時,作直徑AD,連接PD,則∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

即∠DAC=∠DPA=90°

由(1)得AC切⊙O於A

若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等。

應用舉例

【例1】如圖4,在⊙O中,⊙O的切線AC、BC交於點C.

求證:∠CAB=∠CBA。

解:∵AC、BC是⊙O的兩條切線

∴AC=BC(切線長定理)

∴∠CAB=∠CBA(等腰三角形中等邊對等角)

【例2】如圖5,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經過點A的圓與BC相切於點D,與AB,AC分別相交於E,F.

求證:EF//BC.

證明:連接DF

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵∠EFD=∠BAD

∴∠EFD=∠CAD

∵⊙O切BC於D

∴∠FDC=∠CAD

∴∠EFD=∠FDC

∴EF∥BC

【例3】如圖6,ΔABC內接於⊙O,AB是⊙O直徑,CD⊥AB於D,MN切⊙O於C.

求證:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.

證明:∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

∴∠ACD=∠B

∵MN切⊙O於C

∴∠MCA=∠B

∴∠MCA=∠ACD

即AC平分∠MCD

同理:BC平分∠NCD

參考來源

弦切角定理和切割線定理

參考資料

  1. 弦切角定理,360搜索 , 2020-07-06