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| 微分中值定理 |
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微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
简介
古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这是拉格朗日中值定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri，1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。
评价
泰勒公式内容 :若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
(注:f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。)
推论:麦克劳林公式
内容:
若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f(0)/2!·x^2,+f'(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.
达布定理内容:
若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
推广:若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
洛必达法则内容:
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零;
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于∞;
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0;
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。[1]