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阿贝尔范畴(或称交换范畴)在数学中是一个能对态射与对象取和,而且核与余核存在且满足一定性质的范畴。阿贝尔范畴是同调代数的基本框架[1]。
定义
阿贝尔范畴(或称交换范畴)是一个加性范畴,且满足以下条件:1.每个态射都有核与余核;2.每个单态射都是核、每个满态射都是余核。
等价定义
阿贝尔范畴是一个加性范畴,且满足以下条件:
1.核与余核存在;2.每个单态射都是余核的核、每个满态射都是核的余核;3.每个态射都可以分解为一个满态射复合一个单态射。
例子
1.阿贝尔群范畴Ab:对象为交换群,态射为群同态;2.模范畴RMod:对象为左R模,态射为模同态。
性质
阿贝尔范畴的态射若同时为满态射与单态射,则为同构。
作用
阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。
相关概念
设k为域。k上阿贝尔范畴C为局部有限阿贝尔范畴,若满足以下条件:
(1)对C中任意对象X与Y,态射集Hom(X,Y)为有限维向量空间。(2)每个对象均有有限长度。
k上阿贝尔范畴为有限阿贝尔范畴,若其等价于有限维k代数A上有限维模范畴A-Mod。
视频
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参考文献
- ↑ 阿贝尔范畴中的正合性和自然性讨论,道客巴巴,2014-12-22