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| 向量空間 |
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向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯繫的向量空間概念。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。
向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。
簡介
設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V和兩個運算:
向量加法:+ : V × V → V 記作 v + w, ∃ v, w ∈ V
標量乘法:· : F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):
有些教科書還強調以下兩個公理:
V 閉合在向量加法下:v + w ∈ V
V 閉合在標量乘法下:a v ∈ V
更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間;若F是複數域C，V稱為復向量空間;若F是有限域，V稱為有限域向量空間;對一般域F，V稱為F-向量空間。
首4個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，餘下的4個公理應用於標量乘法。
以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性:
零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的 a 0 = 0，∀ a ∈ F 0 v = 0，∀ v ∈ V，這裡 0 是F的加法單位元 a v = 0 ，則可以推出要麼 a = 0 ，要麼 v = 0 v的加法逆元(公理4)是唯一的(寫成−v)，這兩個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的 (−1)v = −v，∀ v ∈ V (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V
評價
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦范向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的(加法及標量乘法是連續映射)稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性算子(定義為向量乘法)是個域代數。[1]