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阿貝爾範疇（或稱交換範疇）在數學中是一個能對態射與對象取和，而且核與余核存在且滿足一定性質的範疇。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。

定義

阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個加性範疇，且滿足以下條件：1.每個態射都有核與余核；2.每個單態射都是核、每個滿態射都是余核。

等價定義

阿貝爾範疇是一個加性範疇，且滿足以下條件：

1.核與余核存在；2.每個單態射都是余核的核、每個滿態射都是核的余核；3.每個態射都可以分解為一個滿態射複合一個單態射。

例子

1.阿貝爾群範疇Ab：對象為交換群，態射為群同態；2.模範疇RMod：對象為左R模，態射為模同態。

性質

阿貝爾範疇的態射若同時為滿態射與單態射，則為同構。

作用

阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。

相關概念

設k為域。k上阿貝爾範疇C為局部有限阿貝爾範疇，若滿足以下條件：

(1)對C中任意對象X與Y，態射集Hom(X,Y)為有限維向量空間。(2)每個對象均有有限長度。

k上阿貝爾範疇為有限阿貝爾範疇，若其等價於有限維k代數A上有限維模範疇A-Mod。

視頻

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