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阿贝尔范畴（或称交换范畴）在数学中是一个能对态射与对象取和，而且核与余核存在且满足一定性质的范畴。阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。

定义

阿贝尔范畴（或称交换范畴）是一个加性范畴，且满足以下条件：1.每个态射都有核与余核；2.每个单态射都是核、每个满态射都是余核。

等价定义

阿贝尔范畴是一个加性范畴，且满足以下条件：

1.核与余核存在；2.每个单态射都是余核的核、每个满态射都是核的余核；3.每个态射都可以分解为一个满态射复合一个单态射。

例子

1.阿贝尔群范畴Ab：对象为交换群，态射为群同态；2.模范畴RMod：对象为左R模，态射为模同态。

性质

阿贝尔范畴的态射若同时为满态射与单态射，则为同构。

作用

阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。

相关概念

设k为域。k上阿贝尔范畴C为局部有限阿贝尔范畴，若满足以下条件：

(1)对C中任意对象X与Y，态射集Hom(X,Y)为有限维向量空间。(2)每个对象均有有限长度。

k上阿贝尔范畴为有限阿贝尔范畴，若其等价于有限维k代数A上有限维模范畴A-Mod。

视频

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