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二元函數

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名稱:二元函數


通常記為;z=f(x,y),(x,y)∈D

設D是二維空間R2的一個非空子集,稱映射f:D→R為定義在D上的二元函數,通常記為

z=f(x,y),(x,y)∈D

z=f(P),P∈D,

其中點集D稱為該函數的定義域,x、y稱為自變量,z稱為因變量.

上述定義中,與自變量x、y的一對值(即二元有序實數組)(x,y)相對應的因變量z的值,也稱為f在點(x,y)處的函數值,記作f(x,y),即z=f(x,y).函數值f(x,y)的全體所構成的集合稱為函數f的值域,記作f(D),即

f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}.[1]

定義

設D是二維空間R2={(x,y)|x,y∈R}的一個非空子集,稱映射f:D→R為定義在D上的二元函數,通常記為

z=f(x,y),(x,y)∈D

z=f(P),P∈D,

其中點集D稱為該函數的定義域,x、y稱為自變量,z稱為因變量.

上述定義中,與自變量x、y的一對值(即二元有序實數組)(x,y)相對應的因變量z的值,也稱為f在點(x,y)處的函數值,記作f(x,y),即z=f(x,y).函數值f(x,y)的全體所構成的集合稱為函數f的值域,記作f(D),即

f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}.

與一元函數的情形相仿,記號f與f(x,y)的意義是有區別的,但習慣上常用記號「f(x,y),(x,y)∈D」或「z=f(x,y),(x,y)∈D」來表示D上的二元函數f.表示二元函數的記號f也是可以任意選取的.例如也可以記為z=φ(x,y),z=z(x,y)等.

給定平面上一個點集E,對於E來說,平面上任一個點必為下列三種點之一:

(1)E之內點

若對於點M0,存在某個δ>0,使Uδ(M0)⊂E,即存在以M0為心之充分小的開圓整個屬於E,則稱M0為E之內點.

(2)E之外點

若對於點M0,存在某個δ>0,使Uδ(M0)∩E=Ø,即存在以M0為心之充分小的開圓與E不交,則稱M0為E之外點.

(3)E之邊界點

若對於點M0,任意的δ>0都使Uδ(M0)中既有E之點,又有非E之點,即對任意δ>0,Uδ(M0)∩E≠Ø且Uδ(M0)⊄E,則稱M0為E之邊界點.

聚點

設點P∈R2,點集E⊂R2,如果對於任意給定的δ>0,點P的去心鄰域

內總有E中的點,則稱P是E的聚點.

開集、閉集、邊界

若點集E中之點,都是E之內點,則稱E為開集;若點集E包含E之一切邊界點,則稱E為閉集.

E之一切邊界點組成的集合,稱為E之邊界,記作∂E.

連通集

若集合E中任意兩點可以由一條完全在E中之折線連接起來,則稱E為連通集.

(開)區域、閉區域

連通的開集稱為區域或開區域.開區域連通它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域.

有界集、無界集

對於平面點集E,如果存在某一正數r,使得E⊂U(O,r),其中O是坐標原點,則稱E為有界集,否則E為無界集.

極限

設二元函數f(P)=f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)是D的聚點.如果存在常數A,對於任意給定的正數ε,總存在正數δ,使得當P(x,y)∈D∩

時,都有

|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ε

成立,那麼就稱常數A為函數f(x,y)當(x,y)→(x0,y0)時的極限,記作

或f(x,y)→A((x,y)→(x0,y0)),

也記作

或f(P)→A(P→P0).

為了區別於一元函數的極限,我們把二元函數的極限叫做二重極限.

必須注意,所謂二重極限存在,是指P(x,y)以任何方式趨於P0(x0,y0)時,f(x,y)都無限接近於A.因此,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一條定直線或定曲線趨於P0(x0,y0)時,即使f(x,y)無限接近於某一確定值,我們還不能由此斷定函數的極限存在.但是反過來,如果當P(x,y)以不同方式趨於P0(x0,y0)時,f(x,y)趨於不同的值,那麼就可以斷定這函數的極限不存在.

關於二元函數的極限運算,有與一元函數類似的運算法則.

連續性

如果函數f(x,y)在點P0(x0,y0)處極限存在且為f(x0,y0),即有

,則稱函數f(x,y)在P0(x0,y0)處連續.

如果函數f(x,y)在區域D內的每一點處都連續,則稱函數f(x,y)在D內連續.

一切二元初等函數在其定義區域內是連續的.所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域.

在有界閉區域D上的二元連續函數,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.

在有界閉區域D上的二元連續函數必取得介於最大值與最小值之間的任何值.

在有界閉區域D上的二元連續函數必定在D上一致連續.

設D為f(x,y)的定義區域,若對於任意給定的正數ε,總存在正數δ,使得對於D上的任意兩點P1、P2,只要當|P1P2|<δ時,都有|f(P1)-f(P2)|<ε,則稱f(x,y)在D上一致連續.

令二元函數z=f(x,y)的自變量y保持定值y0,這時z就成為自變量x的一元函數.如果這個一元函數z=f(x,y0)在x0處的微商存在,則稱此微商為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x的偏微商(或偏導數),記作fx(x0,y0),或記作

zx(x0,y0),

全微分

設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義,若自變量x與y各有增量△x與△y,則稱

△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)

為函數f(x,y)在點(x0,y0)的全增量.

如果存在常數A與B,使得函數在點(x0,y0)的全增量△z可以表示為

△z=A△x+B△y+o(ρ)(ρ→0),

其中,則稱A△x+B△y為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的全微分,記作

或df(x0,y0),

這時稱函數z在點(x0,y0)處可微.

若函數在區域D內任一點處都可微,則稱函數在D內是可微的.

若函數f(x,y)在點(x0,y0)處可微,則函數f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏微商都存在,並且

其中A,B是全微分定義中的常數.

若函數z=f(x,y)的兩個偏微商在點(x0,y0)處連續,則函數f(x,y)在點(x0,y0)處可微.

幾何意義

設M0(x0,y0,f(x0,y0))為曲面z=f(x,y)上的一點,過M0作平面y=y0,截此曲面得一曲線,此曲線在平面y=y0上的方程為z=f(x,y0),則導數,

即偏導數fx(x0,y0),就是這曲線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率.

參考來源

二元函數的基本概念

參考資料

  1. 二元函數的定義,360文庫 , 2020年5月14日