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代數數論，是數論的一個重要分支。它以代數整數，或者代數數域為研究對象，不少整數問題的解決要藉助於或者歸結為代數整數的研究。因之，代數數論也是整數研究的一個自然的發展。代數數論的發展也推動了代數學的發展。引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密。
代數數論主要起源於費馬大定理的研究。法國數學家P. de費馬在學習與翻譯丟番圖的《算術》一書時，在書邊上寫下了著名的"大定理"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)沒有xyz≠0的整數解。[1]
具體介紹
經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由於成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特別獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。
容易看出，這個結果的證明，可以歸結到n=4以及n為奇素數的情形。費馬本人給出了n=4的證明，L.歐拉與A.-M.勒讓德證明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷證明了n=5的情形。雖然對於許多奇素數，人們已經證明了這個結果，但始終沒有得到一個一般的證明。E.E.庫默爾是努力證明費馬大定理的數學家之一。他利用n次本原單位根代數數論把方程 xn+yn=zn寫成（公式1）代數數論，他以為在分圓域代數數論中， 「整數」也象普通整數一樣，可以唯一地分解成素數的乘積。在這個前提下，庫默爾給出費馬大定理的證明。不久，他自己發現他的假定是錯誤的，即在分圓域中， 「整數」分解成素數的乘積不具有唯一性。這個發現使庫默爾引入「理想數」的概念，他隨之證明了，每個「理想數」可以唯一地分解成素因子的乘積，因而就建立了分圓域上的數論。J.W.R.戴德金把庫默爾的工作系統化並推廣到一般的代數數域，為代數數論奠定了基礎。
C.F.高斯關於二元二次型的深入研究也引起了二次數域算術的研究。有理數域Q上的有限擴張K 稱為有限次的代數數域，K 對Q 的次數n=【K:Q】就是指K作為Q上線性空間的維數。
K中每個元素都是一個次數不超過n的有理係數多項式（公式2）的根。因為乘一非零整數後，多項式的根不變，所以不妨假定(1)是整係數多項式。如果K 中元素α使一個首項係數為1（即α0=1）的整係數多項式(1)為零，那麼α就稱為一代數整數。K 中全體代數整數組成一個具有單位元素的交換整環OK。對於環OK中的理想A、B定義乘法（公式3）。 dxc 即由A、B中元素之積的有限和組成的集合，顯然，AB也是OK的理想。一個理想P 稱為素理想，就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以證明，在代數整數環OK中，每個非零理想A都可以唯一地分解成素理想的乘積，即A=P1P2…Pt，其中Pi(i=1，2，…，t)是素理想。在通常的整數環Z中，每個理想都是由一非負整數的倍數所組成，因之，非零理想與正整數是一一對應的。由此可見，關於理想分解的定理正是通常整數的因子分解定理的一個推廣。
OK的全體非零理想組成一乘法半群， OK就是這個乘法半群的單位元素。為了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一個子集合A是一個有限生成的OK模，那麼A 就稱為一分式理想。顯然，理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整數倍rα(r∈OK)組成的集合也是分式理想，它們稱為主分式理想。對於分式理想可以同樣地定義乘法。可以證明，K 中全體非零的分式理想在乘法下成一群，而且每個分式理想A 都可以唯一地表成素理想方冪的乘積（公式4）這個群稱為K的理想群，記為IK。
環OK中可逆元素稱為單位。全體單位組成一乘法群，記為UK。顯然，K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要條件是α∈UK。下面的正合列是基本的（公式5）
其中K*表示K 中全體非零元素組成的乘法群，而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想（公式6）CK稱為K的理想類群，其元素是理想類。按定義IK，中兩個理想A、B屬於同一類，當且僅當有α∈K*使A=αB。代數數論中一個基本的事實是:CK為一有限阿貝爾群，hK=|CK|稱為K的類數。當hK=1，即每個理想都是主理想，OK為一主理想環，從而因子分解唯一性定理成立。在一定意義上，理想類群CK與類數hK反映了代數數域K在算術上的複雜性。直到現在，類群結構的研究與類數的計算，始終是代數
數論中重要問題之一。即使是二次域類數的計算也是很困難的，一個值得注意的進展是 Heegner最先證明了（公式7）它們分別是d=1，2，3，7，11，19，43，67，163等9個被業界稱為Heegner 數。
正合列（2）的另一端是單位群UK，它的結構已被狄利克雷完全決定。他證明了UK=HK×VK，式中HK為K中全部單位根組成的有限群，VK是一秩為r1+r2-1的自由阿貝爾群，r1為K 到實數域R 同構的個數，2r2為K到複數域C 同構(非實的)個數。VK的一組基稱為基本單位組。具體算出基本單位組是代數數論中又一個重要的問題。基本單位組與類數有密切的聯繫。整數環中一個素數p 在OK中生成一個理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素數p 在OK中的素理想分解的規律，是代數數論中一個中心問題。下面把這個問題放在一個更廣的形式下來討論。
設L是代數數域K上的一個l次擴張，L當然仍是一個代數數域。它的代數整數環為OL，顯然，（公式8）且OL為OK的一個有限生成模。
如果OL是OK上一自由模（秩一定是l），那麼在OL中就有l個元素r1，r2，…，rl構成OL的一組基，即（公式9）這樣的元素組r1，r2，…，rl稱為OL對於OK的一組整基。當OK是主理想環時，由主理想環上有限生成模的結構定理可知，OL對於OK一定有整基。特別地，代數整數環OK對於整數環Z一定有整基。
設P是OK中一個素理想。POL是OL中一個理想，它在OL中有素理想分解（公式10）
因為代數整數環是戴德金環，素理想都是極大理想，即代數整數環對於素理想的商環是域。對於(3)，可以證明Qi∩OK =P，i=1，2，…，g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令（公式11）它稱為Qi對於P的剩餘次數，ei稱為Qi對於P 的分歧指數。於是有（公式12）
如果在(3)中有某個ei>1，即POL被素理想Qi的平方整除，就說P 在L 中分歧，而Qi就稱為在K上分歧。否則就稱為非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就稱為K 的一個非分歧擴張。
判別式與差積是刻畫分歧的兩個重要概念。令Tr表示有限擴張L到K 的跡。對於L中任意l個元素v1，v2，…，vl，可知det│Tr（vi，vj）│=0的充分必要條件是v1，v2，…，vl，在K上線性相關。在OL中取l個在K上線性無關的元素v1，v2，…，vl，作（公式13）對於OL中所有可能的線性無關的元素組 v1，v2，…，vl，det│Tr(vi，vj)│在OK中生成一個理想Δ(L/K)，它稱為L對於K的判別式。可以證明，OK中素理想P在L中分歧，當且僅當P|Δ(L/K)。由此可知，K中分歧的素理想只有有限多個，且L為非分歧擴張的充分必要條件是：Δ(L/K)=OK。利用判別式可以證明，有理數域上沒有次數大於1的非分歧擴張。
在L中定義C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，顯然C 是L的一個分式理想，且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一個理想，稱為L對於K 的差積。可以證明，OL中素理想Q在K上分歧，當且僅當Q|δ(K/L)。差積與判別式有密切聯繫。
研究代數數域的算術性質與代數性質之間的聯繫，是代數數論的一個重要的方面。
設L/K是一伽羅瓦擴張，g=g（L/K）是伽羅瓦群。可以證明，在分解式（3）中，素理想Q1，Q2，…，Qg在伽羅瓦群 g下是可遷的，因而有即對於OK中素理想P有代數數論代數數論且Q1，Q2，…，Qg有相同的剩餘次數ƒ。公式(4) 就成為l=eƒg。 令 D1為 Q1在 g 中的穩定子群，即代數數論代數數論，顯然【g:D1】=g，|D1|=eƒ。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，於是D1中每個元素誘導出岧/噖 的一個自同構。可以證明，代數數論是一滿同態。令K1為這個同態的核，顯然，【D1:K1】=ƒ，│K1│=e，D1稱為Q1的分解群，K1稱為Q1的惰性群。對Qi相應地有子群Di與Ki， 在g中它們分別與D1與K1共軛。當 P非分歧時，代數數論代數數論(因噖、岧是有限域)。由伽羅瓦基本定理，相應地有一串域代數數論代數數論是L的一個最大的域，P 在其中不分歧。當P 分歧時，群K1還可進一步細分，即定義所謂高階分歧群。這是由D.希爾伯特建立的一套重要的理論，稱為希爾伯特分歧理論。
對於代數數域上的阿貝爾擴張，有很深刻的結果，即所謂類域論。
唯一因子
代數數域K的整數環OK的元素的素分解和整數環Z的素數分解有不同之處，不是每個OK的元素都唯一分解。雖然OK元素的唯一分解束在某些情況下可能成立，如高斯整環，但在其它情況下可能會失敗， 如二次域Z [√-5]中，6就不是唯一分解。
OK的理想類群是一個整數環OK的元素是否唯一因子分解的度量，特別是當整數環OK理想類群是平凡群時，當且僅當O為唯一分解整環
O的唯一因子分解和OK素理想間關係：
OK元素的唯一分解可能成立：這時OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一個戴德金整環）。這使得在研究OK的素理想尤其重要。從另方面，從整數環Z更改為代數數域K的整數環OK後，整數環Z中素數就能生成Z素理想（其實，Z的每一個素理想（p）的形式是：pZ）可同一素數在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整環中，理想2Z[i]不再是素理想，
但理想3Z[i]是一個素理想。高斯整環唯一因子分解完整的答案使用費爾馬大定理，其結果為：
得出這種簡單的結果對更一般的整數環來說是代數數論的基本問題。當代數數域K是有理數Q的阿貝爾擴張時（即阿貝爾群的伽羅瓦擴張）類域論實現了這一目標。
素元和素點
（根據類域論，因K為有理域Q時OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理數域不同，實域R和實數域不同）
在OK素理想的概念的一個重要的推廣是理想論，也叫賦值論，這兩種方法之間的關係如下：
運算為通常的絕對值函數|·|，映射有理域Q→實域R的，令絕對值函數|·|p: 定義稱為p-adic絕對賦值，p∈Z中的素數。由奧斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic絕對賦值對Q是等價類，p-adic絕對賦值可看成類似通常素數。更普遍的，代數數域K的絕對賦值稱為一個素點places。K中素元分兩類：像p-adic絕對賦值|·|p這種等價類是有限的，被稱為有限素元（有限素點）。而通過復域C的模|·|方式定義的素元可看成復域C一個無限子集，被稱為無限素元（或無限點）。因此，一般表示Q的素元集合為{2，3，5，7，...，∞}，在這種情況下|·|∞是有理域Q的素元（素點）。
K的無限素元可有嵌入同態K→C（即非零的環同態，從K到C）。具體來說，可把嵌入分成兩個不相交的子集，那些像在R中算一個子集S1，其餘的為另一子集S2。S1的每個嵌入σ：K→R，對應唯一一個和通常絕對值一樣的絕對賦值；這種方式產生的一個素元的被稱為一個實素元（或實素點）。S2的一個嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一個唯一的嵌入τ，稱為共軛嵌入，組成的復共軛映射為τ的C→C.而此絕對賦值為複數的模：|z| = |z| 。這樣的素元叫一個復素元（或復素點）。這樣無限素元的集合的描述如下：每個無限素元對應到一個唯一的。
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參考文獻
- ↑ 開創了代數數論，發明了xⁿ+yⁿ=zⁿ(n＞2)，新浪網，2017-12-13