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佐恩引理是中國科技名詞。

如今，一個擁有燦爛文化的中國，帶着豐富多彩的文化元素屹立在世界東方。而中華文化的典型代表之一便是漢字。

名詞解釋

佐恩引理（Zorn's Lemma）也被稱為庫拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合論中一個重要的定理，其陳述為：

在任何一非空的偏序集中，若任何鏈（即全序的子集）都有上界，則此偏序集內必然存在（至少一枚）極大元。

佐恩引理是以數學家馬克斯·佐恩的名字命名的。

歷史背景

佐恩引理是以數學家佐恩（Max Zorn）的名字命名的。

佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現，1935年佐恩亦獨立地發現此結論。

解析

具體來說，假設(P, <)是一個偏序集，它的一個子集T稱為是一個全序子集，如果對於任意的s, t ∈T，s < t或t < s二者中有且僅有一個成立。而T稱為是有上界的，如果P中存在一個元素u，使得對於任意的t ∈T，都有t < u。在上述定義中，並不要求u一定是T中的元素。而一個元素m ∈T稱為是最大的，如果x ∈T且x ≥ m，則必然有x = m。

佐恩引理，良序定理（well-ordering theorem）和選擇公理（axiom of choice）彼此等價，在集合論的Zermelo-Fraenkel公理（Zermelo-Fraenkel axiom of set theory）基礎上，上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位，例如在證明泛函分析（Functional Analysis）的罕-巴那赫定理（Hahn-Banach Theorem）、斷言任一向量空間必有基，拓撲學中證明緊空間的乘積空間仍為緊空間的Tychonoff定理，和抽象代數中證明任何環必然有極大理想和任何域必然有代數閉包的過程中，佐恩引理都起到了關鍵性作用。

應用舉例

佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環R必然有極大理想。用P來表示R的所有真理想（即R的所有雙邊理想，且該理想是R的真子集）。在P中引入一個偏序，定義為集合的包含關係，那麼P中必然有一個極大元素，並且這個元素是R的真子集，從而R有一個極大理想。

為了應用佐恩引理，需要證明P的任何一個全序子集T都有一個上界，即存在一個理想I滿足I is subset of R並且I比T中任何一個元素都大，但I並非R本身。現取I為T中所有理想的並。可以證明，I是一個理想：如果a和b是I中的兩個元素，那麼必然存在T中兩個理想J, K ∈T滿足a ∈J, b ∈K。注意T是一個全序集，所以必然有J is subset of K或者K is subset of J，從而必然有a, b ∈J或a, b ∈I二者居其一，從而a + b ∈I。進一步，對於任何r ∈R, a ∈I都可以證明ra ∈I。由此，I成為R的一個理想。

考慮證明的核心部分：利用I = R充要於1 ∈I，可以證明I一定是R的真子集。因為如果1 ∈I，那麼必然有某個J ∈T滿足1 ∈J，這意味着J = R，這與T的選取是矛盾的。

這樣，利用佐恩引理，P必然包含一個最大元素，而這個元素就是R的一個極大理想。

注意這個結論只在R是單位環的時候成立，在R不是單位環的情形下，一般而言這個結論是不成立的。