線性代數導引

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《線性代數導引》，馮琦 著，無 編，出版社： 科學出版社。

內容簡介

本書內容包括數、數的加法和數的乘法，以及由此延伸開來的群、環、域、多項式和向量空間。與其他線性代數的教科書不同的是立足點和理論框架的選擇。本書不將任何數及其算術運算當成給定的原始概念，而是從數學基礎的角度建立起它們的確切解釋，並將這樣的解釋作為數學的一種基礎，進而建立和發展線性空間的基本理論。

目錄

《現代數學基礎叢書》序

序言

緒論1

第1章預備知識7

1.1邏輯基礎7

1.1.1語句真假判定7

1.1.2表達式及其語義解釋12

1.2集合論基礎21

1.2.1屬於與相等21

1.2.2基本存在性25

1.2.3函數29

1.2.4函數半群32

1.2.5置換群34

1.2.6等價關係40

1.2.7勢比較43

1.2.8練習44

1.3自然數有序集合45

1.3.1遞歸定義定理53

1.3.2自然數有序半環60

1.3.3自然數數組有序加法半群73

1.3.4練習82

1.4有限集與無限集84

1.4.1有限集合84

1.4.2自然數平面之勢86

1.4.3連續統勢87

1.4.4練習88

1.5有限置換群89

1.5.1置換分解與置換符號90

1.5.2群同態與同構101

1.5.3置換群分類與包絡定理105

1.5.4練習109

第2章整數與分數113

2.1整數有序環113

2.1.1整數及其算術運算113

2.1.2整數算術基本定理122

2.1.3循環群131

2.1.4練習135

2.2同餘類環和域136

2.3整係數多項式環142

2.3.1單變元項及單變元多項式函數143

2.3.2函數環150

2.3.3多變元項及多元多項式函數151

2.3.4練習155

2.4有理數有序域155

2.4.1有理數及其算術運算155

2.4.2有理數序特徵163

2.4.3素數開方問題167

2.4.4練習168

2.5有理平面有序域170

2.5.1線性結構171

2.5.2正方根乘法190

2.5.3練習197

2.6有理係數多項式環199

2.6.1有理數值函數環200

2.6.2單變元項與單變元多項式函數202

2.6.3n-變元項及其n-元多項式函數解釋204

2.6.4分式域208

2.7練習211

第3章實數與複數214

3.1實數214

3.1.1實數及其序214

3.1.2實數代數運算216

3.2實數結構代數特性225

3.2.1實係數多項式環225

3.2.2實線性函數233

3.2.3實數結構基本代數特性234

3.2.4練習239

3.3實平面R2241

3.3.1線性運算242

3.3.2實線性函數247

3.3.3度量248

3.3.4可構造數域K250

3.3.5練習258

3.4方陣空間M2(R)258

3.4.1二維實線性映射258

3.4.2線性空間M2(R)260

3.4.3二階行列式265

3.4.4線性單射與滿射268

3.4.5四元數體273

3.4.6練習280

3.5複數281

3.5.1複數集合及其代數運算281

3.5.2復係數多項式環287

3.5.3複數域代數封閉性294

3.6練習297

第4章多項式整環299

4.1序列多項式環299

4.2多變元多項式308

4.2.1序列多元多項式環308

4.2.2多元對稱函數子環和對稱多項式子環315

4.3因式分解320

4.3.1因式321

4.3.2因式分解**性326

4.4多項式不可約性334

4.4.1有理係數不可約多項式334

4.4.2根與線性因子340

4.4.3實係數和復係數不可約多項式349

4.4.4根與係數的關係354

4.4.5練習365

第5章M3(R)與M34(R)368

5.1矩陣空間M3(R)368

5.1.1線性運算369

5.1.2矩陣乘法370

5.1.3三元實線性方程組374

5.1.4三階行列式396

5.2R3407

5.2.1線性運算407

5.2.2線性獨立性409

5.2.3度量412

5.2.4叉積414

5.2.5三元實線性函數與實線性算子418

5.2.6練習421

5.2.7附錄：行列式幾何解釋423

第6章矩陣空間Mmn(F)431

6.1矩陣與向量431

6.1.1線性運算432

6.1.2矩陣乘法434

6.2線性方程組437

6.3線性空間Fn444

6.4矩陣與線性映射455

6.5行列式函數486

6.6練習522

第7章線性空間與線性映射533

7.1線性空間533

7.1.1線性子空間534

7.1.2直和分解541

7.2線性同構與自同構549

7.2.1坐標映射550

7.2.2自同構552

7.2.3練習555

7.3線性映射561

7.4線性函數572

7.4.1對偶空間L1(Fn，F)574

7.4.2對偶空間L1(V，F)576

7.4.3練習588

7.5線性算子590

7.5.1算子代數590

7.5.2可逆線性算子595

7.5.3相似性597

7.5.4標準計算矩陣601

7.5.5李代數簡介655

7.5.6練習656

第8章多重線性函數664

8.1雙線性函數664

8.1.1對稱雙線性函數與二次型672

8.1.2二次型標準化方法681

8.1.3實二次型686

8.1.4斜對稱雙線性型697

8.1.5練習705

8.2Rn上的共變張量713

8.3抽象張量719

8.3.1張量與張量空間720

8.3.2張量積723

8.3.3張量代數740

8.3.4斜對稱張量外積代數742

8.3.5練習760

第9章內積空間763

9.1實歐幾里得空間763

9.1.1實對稱正定雙線性型763

9.1.2實度量765

9.1.3正交性767

9.1.4練習784

9.2復內積空間788

9.2.1埃爾米特型788

9.2.2復度量791

9.2.3正交性791

9.3內積空間算子理論793

9.3.1線性算子與共軛線性函數794

9.3.2自伴算子797

9.3.3保距算子799

9.3.4規範算子805

9.3.5練習815

第10章幾何向量空間820

10.1仿射空間820

10.2練習838

10.3歐幾里得空間840

10.4練習861

10.5射影空間863

10.6練習866

10.7羅巴切夫斯基空間867

10.8閔可夫斯基空間870

參考文獻876

索引877

《現代數學基礎叢書》已出版書目883