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| 自然數 | |
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自然數，用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。
概述
自然數包括0。自然數就是比0大的整數。[1] 數學術語
自然數集是全體非負整數（在過去的教科書中，零一般被認為不是自然數，但21世紀的規定表明，0確實為自然數，而更正原因是為了方便簡潔）組成的集合，常用 N 來表示。自然數有無窮多個。
【拼音】zì rán shù
嚴格定義
自然數不僅是表示量的程度的符號，同時也是表示這個量的有序規律的一種符號。就是說：自然數是能夠表示同一屬性事物的程度及其有序規律的一種符號，並具備表示事物屬性、量的程度、有序規律這三種功能。摘自自然數原本數數論。[2]
自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作0。②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的後繼者。③ 0不是任何元素的後繼者。④ 不同元素有不同的後繼者。⑤（歸納公理）N的任一子集M，如果0∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。
基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關係的有限集具有共同的數量特徵，這一特徵叫做基數 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數（用集合的形式表示） ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。
般概念
自然數是一切等價有限集合共同特徵的標記。
註：自然數就是我們常說的正整數。整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。
但相減和 自然數的基本要求相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不總是成立的。用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼，1，2，3，4，……所表示的數 。表示物體個數的數叫自然數，自然數一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論棗自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。
（序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義） 自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的後繼者。③ 1是0的後繼者。④0不是任何元素的後繼者。 ⑤不同元素有不同的後繼者。⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。
基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關係的有限集具有共同的數量特徵，這一特徵叫做基數 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數 ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。
自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。自然數是人類歷史上最早出現的數，自然數在計數和測量中有着廣泛的應用。人們還常常用自然數來給事物標號或排序，如城市的公共汽車路線，門牌號碼，郵政編碼等。
自然數是整數（自然數包括正整數和零），但整數不全是自然數，例如：-1 -2 -3......是整數 而不是自然數。自然數是無限的。
全體非負整數組成的集合稱為非負整數集，即自然數集。）
在數物體的時候，數出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數。自然數有數量、次序兩層含義，分為基數、序數。 基本單位：1 計數單位：個、十、百、千、萬、十萬......
總之，自然數就是指大於等於0的整數。當然，負數、小數、分數等就不算在其內了。[2]
自然數的性質
1.對自然數可以定義加法和乘法。其中，加法運算「+」定義為：
a + 0 = a；
a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的後繼者。
如果我們將S(0)定義為符號「1」，那麼b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，「+1」運算可求得任意自然數的後繼者。
同理，乘法運算「×」定義為：
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。
2.有序性。自然數的有序性是指，自然數可以從0開始，不重複也不遺漏地排成一個數列：0，1，2，3，…這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的，否則就說它是不可數的。
3.無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。
對於無限集合來說「，元素個數」的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少只適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對於有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可以與自己的真子集建立一一對應，例如:
0 1 2 3 4 …
1 3 5 7 9 …
這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。
4.傳遞性：設 n1，n2，n3 都是自然數，若 n1>n2，n2>n3，那麼 n1>n3。
5.三岐性：對於任意兩個自然數n1，n2，有且只有下列三種關係之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。
6.最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。但是這兩個數集都不具備性質5，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然數）的數組成的集合是有理數集的非空子集，這個集合就沒有最小數；開區間（0，1）是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。
具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之後的自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。
自然數的分類
按是否是偶數分
可分為奇數和偶數。
1、奇數：不能被2整除的數叫奇數。
2、偶數：能被2整除的數叫偶數。也就是說，除了奇數，就是偶數
註：0是偶數。（2002年國際數學協會規定,零為偶數.我國2004年也規定零為偶數。偶數可以被2整除，0照樣可以，只不過得數依然是0而已）。
按因數個數分
可分為質數、合數、1和0。
1、質 數：只有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。也稱作素數。
2、合 數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。
3、1：只有1個因數。它既不是質數也不是合數。
4、當然0不能計算因數，和1一樣，也不是質數也不是合數。
備註：這裡是因數不是約數。
所有自然數之和
如果我們考慮無窮級數，將其（不正式地）視為數列中所有項的和，在這種意義下我們可以說所有自然數的和是正無窮大，或記作1+2+3+4+...=+∞。（這是因為給定任意大的正數M，均存在某部分和，使其值大於M。）
但在弦論的某些結果中，1+2+3+4+5+6+7...=-1/12一式確實是有意義的。[15]
在說明箇中原因前，我們可透過以下演示來"理解"為何這個和值會是-1/12。
首先我們需要一個等式：S1=1-1+1-1+1-1+1...=0.5
我們用：1-S1=1-(1-1+1-1+1-1+1...)
=1-1+1-1+1-1+1...
=S1
所以得到：2S1=1，即S1=0.5
所以1-1+1-1+1-1+1...=0.5
還需要另外一個等式：S2=1-2+3-4+5-6...=0.25
我們用2S2=S2+S2=(1-2+3-4+5-6...)+(1-2+3+4+5-6...)
我們錯開一位來計算，得2S2=1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+...，所以2S2=1-1+1-1+1-1+1...
我們又回到了前面的一個等式，所以2S2=0.5
S2=0.25
下面我們只需要用S-S2=(1+2+3+4+5+6+7...)-(1-2+3-4+5-6+...)
=4+8+12...
我們提一個4出來令S-S2=4(1+2+3...)=4S
所以S-0.25=4S
-0.25=3S
S=-1/12
以上的演示固然是不嚴謹的。但是，所得的值卻是有意義的。事實上，我們可以用別的形式去得出該級數的一個廣義和，比如透過拉馬努金求和得出-1/12，也可以借用黎曼ζ函數，在s = −1 時由 ζ(s) 的解析連續得出-1/12。