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菲爾茲獎（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics）根據加拿大數學家菲爾茲的提議、捐助而建立的國際性數學榮譽獎。

菲爾茲獎每四年在國際數學家代表大會上頒發一次，1936年在挪威奧斯陸第十屆數學家代表大會上首次頒獎。為了鼓勵獲獎者繼續努力，規定獲獎者的年齡必須在四十歲以下，每人將獲得1.5萬加拿大元獎金和金質獎章一枚。

歷史背景

諾貝爾獎中，只設有物理、化學、生物或醫學、文學、和平事業5個類別(1968年又增設了經濟學獎) ，而沒有數學的份額，使得數學這個重要學科失去了在世界上評價其重大成就和表彰其傑出人物的機會 。

正是在這種背景下，世界上先後樹起了兩個國際性的數學大獎:一個是國際數學聯合會(IMU)主持評定的 ，在四年召開一次的國際數學家大會上頒發的菲爾茲獎(Fields Medal) ；另一個是由挪威政府設立的一年一度的阿貝爾獎(Abel Prize) 。這兩個數學大獎的含金量、國際性，以及所享有的榮譽都不亞於諾貝爾獎，因此被世人譽為"數學中的諾貝爾獎" 。

菲爾茲獎是以已故的加拿大數學家約翰·查爾斯·菲爾茲(John Charles Fields)命名的 。

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J.C.菲爾茲1863年5月14日生於加拿大渥太華。曾任美國阿勒格尼大學和加拿大多倫多大學教授。他11歲喪父，18歲喪母，家境不算太好。菲爾茲17歲進入多倫多大學攻讀數學，24歲時在美國的約翰·霍普金斯大學獲博士學位，26任美國阿勒格尼大學教授。1892年他到巴黎、柏林學習和工作，1902年回國後執教於多倫多大學。菲爾茲於1907年當選為加拿大皇家學會會員。他還被選為英國皇家學會、蘇聯科學院等許多科學團體的成員。

菲爾茲強烈地主張數學發展應是國際性的，他對於數學國際交流的重要性，對於促進北美洲數學的發展都抱有獨特的見解並滿腔熱情地作出了很大的貢獻。為了使北美洲數學迅速發展並趕上歐洲，是他第一個在加拿大推進研究生教育，也是他全力籌備並主持了1924年在多倫多召開的國際數學家大會(這是在歐洲之外召開的第一次國際數學家大會)。

正是這次大會使他過分勞累，從此健康狀況再也沒有好轉，但這次大會對於促進北美的數學發展和數學家之間的國際交流，確實產生了深遠的影響。當他得知這次大會的經費有結餘時，他就萌發了把它作為基金設立一個國際數學獎的念頭。

他為此積極奔走於歐美各國謀求廣泛支持，並打算於1932年在蘇黎世召開的第九次國際數學家大會上親自提出建議。但不幸的是未等到大會開幕他就去世了。

菲爾茲在去世前立下了遺囑，把自己留下的遺產加到上述剩餘經費中，由多倫多大學數學系轉交給第九次國際數學家大會，大會立即接受了這一建議。菲爾茲本來要求獎金不要以個人、國家或機構來命名，而用"國際獎金"的名義。但是，參加國際數學家大會的數學家們為了讚許和緬懷菲爾茲的遠見卓識、組織才能和他為促進數學事業的國際交流所表現出的無私奉獻的偉大精神，一致同意將該獎命名為菲爾茲獎。

評審要求

菲爾茲獎評委會是由國際聯盟執行委員會挑選，一般由國際數學聯合會主席擔任評委會主席。評委會會挑選至少兩名(with a strong preference for four)能代表數學各個領域的菲爾茲獎得主。

菲爾茲獎對於獲獎者的要求中就有一條規定：獲獎人必須在當年的元旦之前未滿四十歲。1954年的菲爾茲獎得主，法國數學家塞爾保持着得獎時的最低年齡記錄：27歲。

授獎儀式

菲爾茲獎的授獎儀式，都在每次國際數學家大會開幕式上隆重舉行，先由執委會主席宣布獲獎名單。接着由東道國的重要人物(當地市長、所在國科學院院長、或國王、總統)或評委會主席或眾望所歸的著名數學家授予獎章和獎金。最後由一些權威數學家分別、逐一簡要評價得獎人的主要數學成就。

獎章結構

菲爾茲獎是一枚金質獎章和15000加拿大元(CAD)的獎金 。獎章由加拿大雕塑家羅伯特·泰特·麥肯齊(Robert Tait McKenzie)設計。獎章的正面是阿基米德的浮雕頭像，並刻有大寫希臘字母:ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ，意為阿基米德的(頭像);設計者的花押字RTM, MCNXXXIII(雕刻家的縮寫，1933，第三個M字以N代替)，和拉丁文TRANSIRE SUUM PECTUS MUNDOQUE POTIRI，意為:超越人的精神，作宇宙的主人。出自羅馬詩人馬爾庫斯·馬尼利烏斯(Marcus Manilius)的著作《天文學》(Astronomica)卷四第392行。獎章背面刻有拉丁文"CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBUERE"，意為"聚集自全球的數學家，為了傑出工作頒發(獎項)"。背景為阿基米德的球體嵌進圓柱體內。

獲獎名單

1936年，L．V．阿爾福斯Ａhlfors（Lars Valerian)，證明了鄧若瓦猜想；發展覆蓋面理論。對黎曼面作了深入研究。

1936年，J．道格拉斯（Douglas,Jesse），解決普拉托極小曲面問題，即一種非線性橢圓型偏微分方程的第一邊值問題；變分問題的逆問題。

1950年，L．施瓦爾茲（Schwartz,Laurent），創立了廣義函數論；對泛函分析、概率論、偏微分方面均有建樹。

1950年，A．賽爾伯格（Selberg,Atle），數論中素數定理的初等證明和對黎曼假設的貢獻；弱對黎曼空間中調和分析和不連續群及其狄里克雷級數的應用；連續群的離子群研究。

1954年，小平邦彥（Kodaira Kunihiko），推廣了代數幾何的一條中心定理：黎曼——羅赫定理。證明了狹義卡勒流形是代數流形，得到了小平邦彥消滅定理。

1954年，J.P.塞爾（Serre,Jean-pierre），發展了纖維叢的概念，得出一般纖維的空間概念；解決了纖維、底空間、全空間的同調關係問題，並由此證明了同倫論中最重要的一般結果；除了以前知道的兩種情形之外，球面的同倫群都是有限群；引進了局部化方法把求同倫群的問題加以分解，得出一系列重要結果。

1958年，K．F．羅斯（Roth，Klaus Friedrich），建立了代數數有理逼近的瑟厄——西格爾——羅斯定理。

1958年，R．托姆（Thorn，Rene），創立拓撲學協邊理論、奇點理論、突變理論；提出了「托姆復形」、建立了微分流形的大範圍理論中的基本定理。

1962年，L．V．霍曼德爾（Hormander，Lars Valter），常係數線性偏微分算子理論；變數系線性偏微分方程解的存在性偽微分算子理論。

1962年，J．W．米爾諾（Milnor，John Willard），微分拓撲中七維球面上存在不同微分結構的證明；否定了皮加萊主猜想；發展復配過、自旋配邊理論；代數K理論和復超曲面的奇點；對代教、代數數論作出了貢獻。

1966年，M．F．阿蒂雅（Atiyah，Michae Francis），繪出了阿蒂雅——辛格指標定理；為K理論的發展作出了重要貢獻；解決了李群表示論、與規範場有關的代數幾何中的若干問題，把不動點原理推廣到一般形式。

1966年，P．J．科恩（Cohen，Paul Joseph），證明了連續統假設與ZF集合公理系統彼此獨立，從而使連續統假設成為一種既不能證明，又不能推翻的現代邏輯工具；對抽象調和分析頗有建樹。

1966年，A．格羅登迪克（Crothendieck，Alexandre），創立了一整套現代代數幾何學抽象理論體系；在泛函分析中引入核空間、張量積；對同調代數也有建樹。

1966年，S．斯梅爾（Smale，Stephen），解決微分拓撲學中廣義龐加萊猜想；創立現代抽象微分動力系統理論；在數理經濟學和運籌學等方面也有重要貢獻。

1970年，A．貝克（Baker，Alan），解決了數論中十幾個歷史悠久的困難問題，範圍涉及超越數論、不定方程和代數數論等方面；在二次數域方面，他解決了高斯時代留下來的一個老問題，肯定了類數為1的虛二次數域只有9個。

1970年，廣中平佑（Hironaka Heisu-ke），完全解決了任何維數的代數簇的寄點解淚問題，建立了相應定理，並把這一結果向複流形推廣，對一般奇點理論作出了貢獻。

1970年，S．P．諾維科夫（Novikov，S．P．），微分拓撲學配邊理論，葉狀結構理論；證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓撲不變性；孤立子理論。

1970年，J．G．湯普遜（Thompson，John Grggs），解決有限單群的伯恩賽德猜想和弗洛貝紐斯猜想，在有限群論方面作出了重要貢獻。

1974年，D．B．曼福德（Mumford，David Bryart），代數幾何學參模理論，他創造性地應用了不變式理論，導致許多新結果，並由此產生了幾何不變式論；證明了代數曲面與代數曲線和高維代數簇有一個不同之處，對代數曲面的分類作出了貢獻。

1974年，E．龐比里（Bombieri，Enrico），改進數論大篩法，得出了所謂龐比里中值公式，證明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；對極小曲面問題的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限單群分類問題中一類李型單樣的唯一性證明。

1978年，C．費弗曼（Fefferman，Charles），傅立葉級數收斂問題及其與奇異積分算子的聯繫；發現哈代空間H1與有界平均振動函數空間BMO的對偶關係；給出非退化線性偏微分方程局部可解性的一個充分必要條件；證明一個具有光滑邊界的嚴格偽凸域到另外一個的雙全純映射可以光滑地延拓到邊界上。

1978年，P．德利漢（Deligne，Pierre），解決代數幾何學中聯繫素數與有限域中代數方程根的個數的韋伊猜想，以簡潔清晰的證明解決了這一代數幾何的中心問題，得到了ξ函數理論的「韋伊——德利涅定理」；對調和分析、多複變函數均有建樹。

1978年， D．奎倫（Quillen，Daniel），解決了代數X理論中亞當斯猜想；得到K理論中塞爾猜想的證明，並開始將代數歸結為拓撲，復配邊理論與形成代數K理論的基礎。他還在同倫理論，形式群理論，同調代數一有限群的上同調論等方面取得重要成果。

1978年，G．A．馬古利斯（Margulis，G．A．），綜合地利用代數、分析和數論的近代成果，特別是各態遍歷性理論，徹底解決了關於李群的離散子群的賽爾伯格猜想。

1983年，A．孔耐（Connes，Alan），從事算子代數研究，引進了新的不變量，將Ⅲ型代數分為子類，進一步把這些代數舊結為Ⅱ型代數及其自同構，然後按外自同構進行系統歸類，從根本上解決了J．馮諾依曼留下的代數分類問題。

1983年，W．色斯頓（Thurston，William），討論了三維流形上的葉狀結構，並對一般流形上葉狀結構的存在、性質及其分類得出了普遍的結果；他藉助於電子計算機：基本完成了三維閉流形的拓撲分類。

1983年，丘成桐（Yan Sheng－tung），證明微分幾何中的卡拉比猜想；證明了廣義相對論中的正質量猜想；並在高維閔科夫斯基問題、三維流形的拓樸學與極小曲面等方面均有創見。

1986年，S．唐納森（Donaldson，simon），關於四維流形拓撲的研究。他發現了四維幾何學中難以預料與神秘的現象，得出存在「怪異」四維空間的結論，即與標準歐氏空間R1拓撲同胚但不微分同胚的微分流形。

1986年，G．福爾廷斯（Faltings，Gerd），用代數幾何學方法證明了數論中的莫德爾猜想；他對阿貝簇的參模空間、算術曲面的黎曼——定理、Padic霍奇理論等也有創見。

1986年，M．弗里德曼（Freedman，Michael），證明了四維流形拓撲的龐加萊猜想，因而刻劃了球面S1，並且提供了對再一般的四維流形的、容易陳述但證明很難的分類定理；對偏微分方程、相對論也有建樹。

1990年，V．德里費爾德（Drinfel』d，Vladimir），他的工作在「類域」（Galois擴張的分類）的傳統理論之內，即在算術領域之內，但建立於代數幾何新對象的結構上；他稱之為模（modules）。他的主要成就與量子群有關，它是一些代數（Hopf代數），具有能連續變形的特徵。

1990年，F．R．J．沃思（Vaughan，F．R．Jones），扭結理論。他的工作與紐曼代數中的因子分數有關，他發現了合痕的一個不變量，它是一個和1／的多項式（g是一個變量）：兩個同痕的結有相同的不變量。

1990年，森重文（Shigffumi MorD），三維代數族的分類。他建立了一種三維代數簇的分類研究，他發現了一些變換，它們正好只存在於至少三維的情形：被稱為「flip」，從而更新了廣中平佑對奇點的研究。

1990年，E．威滕（Witten，Edward），弦理論。他對「超弦理論」作出了很大貢獻，這一理論完全可能在相對性理論、量子力學和粒子相互作用之間作出統一的數學處理（這是A．愛因斯坦大半生追求的夢想）。他證明了（在陳一Simons理論的所有情況下）狀態空間是二線的。

1994年，布爾蓋恩Jean Bourgain ，無限維的偏微分方程。

1994年，利翁P.L.Lions ，非線性偏微分方程、玻爾茲曼方程。

1994年，約克茲J.C.Yoccoz ，一般復動力系統的性狀和分類。

1994年，澤爾曼諾夫E.Zelmanov ，群論的弱伯恩賽得猜想。

1998年，博切爾茲R.E.Borcherds，魔群月光猜想、卡茨-穆迪代數。

1998年，高爾斯W.T.Gowers，巴拿赫空間理論、超平面猜想。

1998年，孔采維奇M.Kontsvich，線理論、扭結分類猜想。

1998年，麥克馬蘭C.T.Mcmullen，混沌理論、復動力系統的主猜想。

1998年，安德魯·懷爾斯Andrew Wiles，費馬猜想。

2002年，洛朗·拉佛閣，證明了與函數域相應的整體朗蘭茲綱領，從而在數論與分析兩大領域之間建立了新的聯繫。

2002年，符拉基米爾·弗沃特斯基，發展了新的代數簇上同調理論而獲獎。這一理論有助於數論與幾何的統一，並幫助解決了幾十年懸而未決的米爾諾猜想。

2006年，安德烈·奧昆科夫Андрей ОкуньковAndrei Okounkov，因為他在聯繫概率論、代數表示論和代數幾何學方面的貢獻。

2006年，格里高利·佩雷爾曼Grigori Perelman，因為他在幾何學以及對瑞奇流中的分析和幾何結構的革命化見識。

2006年，陶哲軒Terence Tao，因為他對偏微分方程、組合數學、調和分析和堆壘數論方面的貢獻。

2006年，溫德林·沃納Wendelin Werner，因為他對發展隨機共形映射、布朗運動二維空間的幾何學以及共形場理論的貢獻。

2010年，吳寶珠Bao Chau Ngo，證明了朗蘭茲綱領中的自守形式理論的基本引理。

2010年，埃隆·林登施特勞斯Elon Lindenstrauss，遍歷理論的測度剛性及其在數論中的應用。

2010年，斯坦尼斯拉夫·斯米爾諾夫Stanislav Smirnov，證明了統計物理中平面伊辛模型和滲流的共形不變量。

2010年，賽德里克·維拉尼Cédric Villani，證明了玻爾茲曼方程的非線性阻尼以及收斂於平衡態。

2014年，阿特·阿維拉Artur Avila，因利用強有力的重正規化思想作為統一原理對動力系統理論的深刻貢獻改變了該領域的面貌。

2014年，曼紐爾·巴伽瓦Manjul Bhargava，在數的幾何領域發展了強有力的新方法, 並利用這些方法計算小秩的環數和估計橢圓曲線平均秩的界。

2014年，馬丁·海爾Martin Hairer，對隨機偏微分方程理論作出了突出的貢獻, 特別地, 為這類方程的正則性結構創造了理論。

2014年，瑪利亞姆·米爾扎哈尼Maryam Mirzakhani，對黎曼曲面及其模空間的動力學和幾何作出了突出的貢獻。

2018年，皮特·舒爾茲，通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，並應用於伽羅瓦表示，以及開發新的上同調理論。

2018年，考切爾·比爾卡爾，證明了法諾代數簇的有界性以及對極小模型理論的貢獻。

2018年，阿萊西奧·菲加利，為最優運輸理論及其在偏微分方程，度量幾何和概率中的應用做出貢獻。

2018年，阿克薩伊·文卡特什，綜合分析數論，齊次動力系統，拓撲學和表示理論，解決了算術對象分布等方面長期存在的問題。