PT對稱非線性波方程的理論與應用

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《PT對稱非線性波方程的理論與應用》，閆振亞 等 著，出版社： 科學出版社。

內容簡介

自1998年PT對稱量子力學(非**量子力學)被提出以來,逐步激發了人們對有關PT對稱理論和實驗方面的廣泛關注.作者自2007年開始研究PT對稱相關的問題,《PT對稱非線性波方程的理論與應用》的主要內容源於作者的部分研究成果.《PT對稱非線性波方程的理論與應用》主要闡述PT對稱理論、方法及其在線性和非線性波方程中的應用,主要針對具有物理意義的不同復值PT對稱勢,研究非厄米Hamilton算子具有全實特徵值譜的參數分布、非線性光學系統及相關領域中的非線性Schr？dinger方程(其在Bose-Einstein凝聚態中被稱為Gross-Pitaevskii方程)、高階非線性Schr？dinger方程、高階非線性Schr？dinger方程、導數非線性Schr？dinger方程、Ginzburg-Landau方程、非□域非線性Schr？dinger方程與三波相互作用耦合系統等非線性波方程的不同類型孤子解和peakon解、相互作用、穩定激發以及動力學性質.這些性質和結果可能激發量子力學、非線性光學與Bose-Einstein凝聚態等相關領域的交叉應用,也為相關物理實驗的設計提供理論基礎和數據支撐.

目錄

《現代數學基礎叢書》序

前言

第1章基礎知識1

1.1**量子力學簡介2

1.2量子力學中的波動方程7

1.2.1含時線性Schr?dinger方程8

1.2.2概率守恆形式12

1.2.3算符的對易關係13

1.2.4伴隨/厄米算子14

1.2.5不確定性原理和關係20

1.3特殊函數22

1.3.1符號函數：sgn(x)，csgn(z)23

1.3.2Diracδ(x)廣義函數24

1.3.3Kroneckerδij函數27

1.3.4Levi-Civita符號函數.28

1.4定態線性Schr?dinger方程29

1.4.1零外勢：自由粒子31

1.4.2調和外勢31

1.4.3Diracδ(x)函數勢32

1.4.4無反射P.schl-Teller勢34

1.4.5無限深方勢阱34

1.5高維定態線性Schr?dinger方程35

1.5.1二維極坐標系情況——Bessel函數.35

1.5.2三維柱坐標系情況——Bessel函數.38

1.5.3三維球坐標系情況——Bessel和Legendre函數38

1.6非厄米PT對稱與PT量子力學40

1.7PT對稱Hamilton算子和性質43

1.8含PT對稱勢的線性Schr?dinger方程45

1.9非厄米PT對稱復勢47

1.9.1PT對稱Bessis-Bender-Boettcher勢.47

1.9.2PT對稱Scarf-II勢48

1.9.3PT對稱勢與Miura□換49

1.9.4PT對稱Rosen-Morse勢.50

1.9.5PT對稱周期勢50

1.9.6PT對稱矩陣型勢51

1.9.7PT對稱其他類型勢51

1.10超對稱夥伴勢51

1.10.1量子力學中的超對稱勢51

1.10.2PT量子力學中的超對稱勢.54

1.10.3超對稱的其他分解55

1.11PT對稱廣義非線性Schr?dinger方程56

1.12可積與近可積PT對稱非線性系統58

1.12.1**孤子與可積非線性系統58

1.12.2近可積PT對稱非線性波系統62

1.12.3孤子方程的PT對稱拓展65

1.12.4PT對稱非□域可積和非可積系統65

1.13分數階量子力學67

1.13.1分數階線性Schr?dinger方程.67

1.13.2分數階非線性Schr?dinger方程.69

1.14PT對稱的分數階非線性Schr?dinger方程.69

1.15可積分數階孤子方程.70

1.15.1單Lévy指標情況.70

1.15.2多Lévy指標和混合Lévy指標情況73

1.15.3不同Lévy指標情況.74

第2章含廣義PT對稱Scarf-II勢的非線性Schr?dinger方程75

2.1PT對稱非線性Schr?dinger方程75

2.1.1PT對稱非線性光學系統75

2.1.2含PT對稱勢的定態非線性Schr?dinger方程76

2.2含波數k的PT對稱Scarf-II勢中的孤子77

2.2.1Hamilton量特徵值問題與PT對稱自發破缺78

2.2.2孤子解的存在條件79

2.2.3孤子解的穩定性82

2.3修正PT對稱Scarf-II多勢阱中的孤子及穩定性.87

2.4修正PT對稱Scarf-II雙勢阱中的孤子.91

2.4.1基本冪律孤子形成和動力學93

2.4.2數值非線性模態及其穩定性分析.95

2.4.3高階孤子及其動力學演化95

2.5PT對稱勢中的二維冪律孤子97

2.5.1二維冪律孤子97

2.5.2二維渦旋孤子的動力學性質99

2.6三維廣義PT對稱外勢中的孤子102

第3章含PT對稱調和-高斯勢的非線性Schr?dinger方程106

3.1PT對稱非線性系統的解析理論和方法106

3.1.1研究背景106

3.1.2非線性波方程的構造107

3.1.3孤子的線性穩定性分析109

3.2攝動PT對稱調和勢110

3.3PT對稱調和-高斯單勢阱111

3.3.1廣義Hamilton算子譜和PT對稱相位破缺112

3.3.2PT對稱調和單勢阱中的孤子：穩定性和絕熱激發113

3.4PT對稱調和-高斯雙勢阱117

3.4.1廣義Hamilton算子譜和PT對稱相位破缺117

3.4.2PT對稱調和-高斯雙勢阱中的孤子：穩定性和絕熱激發119

3.5PT對稱非調和-高斯雙勢阱121

3.5.1PT對稱六次雙勢阱的(未)破缺參數區域123

3.5.2保守厄米非線性系統中的對稱破缺解.124

3.5.3PT對稱孤子解及其穩定性124

3.5.4PT對稱數值孤子族與穩定性127

第4章含動量調控和(非)PT對稱勢的Gross-Pitaevskii方程133

4.1PT對稱的Gross-Pitaevskii方程133

4.1.1廣義Gross-Pitaevskii方程133

4.1.2定態解的一般理論135

4.2空間不□動量調控下PT對稱的線性和非線性模態.136

4.2.1PT對稱Scarf-II勢.136

4.2.2PT對稱α-冪律Scarf-II勢146

4.2.3PT對稱調和-高斯勢151

4.3非周期空間□化的動量調控與PT對稱Scarf-II勢中的孤子160

4.3.1PT對稱的相位(未)破缺160

4.3.2非線性□域模態及其穩定性163

4.4空間周期□化的動量調控與PT晶格勢中的隙孤子.165

4.4.1廣義Hamilton算子譜問題.165

4.4.2非線性波的存在區域與穩定性170

4.5二維PT對稱勢的非線性Schr?dinger方程172

4.5.1二維能帶結構和光束衍射172

4.5.2二維非線性波及其動力學穩定性173

4.5.3解的橫向功率流強度176

4.6三維PT對稱GP方程的孤子177

第5章含有效質量與PT對稱勢的非線性Schr?dinger方程181

5.1有效質量調控的Hamilton算子181

5.2PT對稱的有效質量模型的理論與數值方法182

5.2.1一般理論182

5.2.2一維和二維隙孤子的數值方法184

5.3PT對稱光晶格勢下的能帶結構.185

5.3.1Floquet-Bloch理論185

5.3.2PT對稱晶格勢下的能帶與帶隙186

5.3.3PT對稱晶格勢中的衍射動力學188

5.4隙孤子的存在區域和穩定性189

5.5二維PT對稱有效質量模型190

5.5.1二維能帶結構和光束衍射191

5.5.2二維非線性□域模態與動力學穩定性.192

5.6非周期有效質量調控的孤子194

第6章含PT對稱勢與無界增益--損耗項的非線性Schr?dinger方程197

6.1PT對稱的非線性波方程197

6.1.1定態解的一般理論198

6.1.2PT對稱調和-高斯勢與無界增益-損耗項的Hamilton算子199

6.1.3基態孤子、線性穩定性與動力學行為.200

6.1.4孤子的相互作用與穩定激發202

6.1.5數值孤子解及其穩定性204

6.2高維PT對稱調和-高斯勢中的穩定孤子205

6.2.1二維孤子與穩定性206

6.2.2三維時空光孤子與動力學行為209

第7章含PT對稱有理函數勢的非線性Schr?dinger方程211

7.1PT對稱有理函數勢中的相位破缺211

7.2精確有理孤子解與穩定性212

第8章含任意PT對稱勢的廣義非線性Schr?dinger方程215

8.1PT對稱廣義非線性Schr?dinger方程215

8.2兩種任意形式的PT對稱勢與解析解217

8.3廣義PT對稱Scarf-II勢中的孤子及其穩定性.218

8.4廣義PT對稱厄米-高斯勢中的孤子及其穩定性223

8.5PT對稱漸近周期勢下的孤子行為226

第9章含PT對稱δ(x)-sgn(x)函數勢的非線性Schr?dinger方程230

9.1PT對稱δ(x)-sgn(x)勢230

9.2PT對稱δ(x)-sgn(x)函數單勢阱：相□、peakon解及穩定性231

9.2.1PT對稱相位破缺231

9.2.2peakon解及其穩定性233

9.3PT對稱sgn(x)函數雙勢阱(n>0):孤子及穩定性分析234

9.3.1線性譜問題的PT對稱相位破缺234

9.3.2平頂孤子族和穩定性236

9.3.3孤波對平頂孤子的影響238

9.3.4平頂孤子的穩定激發239

第10章含PT對稱勢的導數非線性Schr?dinger方程.241

10.1非線性物理模型及一般理論241

10.1.1導數非線性Schr?dinger方程241

10.1.2PT對稱導數非線性Schr?dinger方程242

10.1.3一般的解析理論243

10.2PT對稱Scarf-II勢中的線性和非線性□域模態244

10.2.1線性譜問題244

10.2.2非線性模態、穩定性及動力學行為245

10.2.3非線性□域模態的激發251

10.3PT對稱調和-厄米-高斯勢中的線性和非線性□域模態.253

10.3.1線性PT對稱破缺.254

10.3.2非線性模態及其穩定性255

10.3.3非線性模態的激發258

第11章含PT對稱勢的三階非線性Schr?dinger方程.261

11.1含類Scarf-II勢的三階非線性Schr?dinger方程261

11.1.1線性譜問題262

11.1.2非線性□域模態與穩定性263

11.2含PT對稱調和-高斯勢與空間□係數三階色散的模型265

第12章含近PT對稱勢的Ginzburg-Landau方程268

12.1Ginzburg-Landau方程268

12.2近PT對稱非線性物理模型268

12.3定態解和線性穩定性理論269

12.4近PT對稱Scarf-II勢和線性譜問題.270

12.4.1孤子解和動力學性質271

12.4.2線性穩定性和譜性質271

12.4.3孤子的相互作用272

12.4.4孤子的能量流動273

12.5孤子穩定激發275

第13章PT對稱的耦合非線性波系統277

13.1三次耦合非線性波系統277

13.1.1一般數學理論277

13.1.2定態解及其穩定性278

13.1.3Stokes參數的動力系統284

13.2五次耦合非線性波系統287

13.2.1定態解及其穩定性287

13.2.2Stokes參數的動力系統291

第14章含PT對稱勢的非□域非線性Schr?dinger方程293

14.1PT對稱非□域模型293

14.2PT對稱勢作用下的線性譜問題、非線性模態及穩定性.294

14.2.1廣義PT對稱Scarf-II勢294

14.2.2廣義PT對稱Rosen-Morse勢296

14.2.3廣義PT對