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 | style="background: #66CCFFFF2400" align= center| '''<big>二元函数</big>'''|-|<center><img src=https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fwww.51wendang.com%2Fpic%2F6705f5478d4f6164e2a4dbf1%2F2-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg&refer=http%3A%2F%2Fwww.51wendang.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1658009914&t=c0358d308e03ba16c5bf0c0b2b84c596 width="300"></center><small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E4%BA%8C%E5%85%83%E5%87%BD%E6%95%B0&step_word=&hs=0&pn=56&spn=0&di=7108135681917976577&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=2&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=-1&cs=1656156227%2C629864537&os=1590064092%2C1957706627&simid=1656156227%2C629864537&adpicid=0&lpn=0&ln=1628&fr=&fmq=1655417910852_R&fm=result&ic=&s=undefined&hd=&latest=&copyright=&se=&sme=&tab=0&width=&height=&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fgimg2.baidu.com%2Fimage_search%2Fsrc%3Dhttp%3A%2F%2Fwww.51wendang.com%2Fpic%2F6705f5478d4f6164e2a4dbf1%2F2-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg%26refer%3Dhttp%3A%2F%2Fwww.51wendang.com%26app%3D2002%26size%3Df9999%2C10000%26q%3Da80%26n%3D0%26g%3D0n%26fmt%3Dauto%3Fsec%3D1658009914%26t%3Dc0358d308e03ba16c5bf0c0b2b84c596&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fooo_z%26e3Bc8ojg1wg2_z%26e3Bv54AzdH3F15vAzdH3Fm0acuc90b19um8m9jdw91ku8AzdH3Fd&gsm=39&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCwzLDIsNCw2LDUsMSw3LDgsOQ%3D%3D 来自 呢图网 的图片]</small>|-| style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big> '''

|[[File:align= light| 缩略图|居中|[ 原图链接]]]

| align通常记为；z= light|f（x，y），（x，y）∈D

设D是二维 [[ 空 间R2 间]]R2 的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的'''二元函数'''，通常记为

其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为 [[ 自变量 ]] ，z称为因变量.

上述定义中，与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的 [[ 函数 ]] 值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作f（D），即

其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为 [[ 因变量]].

与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用 [[ 记号 ]] “f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等.

若对于点M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之点，又有非E之点，即对任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠Ø且Uδ（M0）⊄E，则称M0为E之 [[ 边界 ]] 点.

连通的开集称为区域或开区域.开区域连通它的边界一起所构成的点集称为 [[ 闭区域]].

设二元函数f（P）=f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在 [[ 正数 ]] δ，使得当P（x，y）∈D∩

成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的 [[ 极限 ]] ，记作

必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此， [[ 如 果P 果]]P （x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在.

关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的 [[ 运算法则]].

在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和 [[ 最小值]].

令二元函数z=f（x，y）的自变量y保持定值y0，这时z就成为 [[ 自变 量x 量]]x 的一元函数.如果这个一元函数z=f（x，y0）在x0处的微商存在，则称此微商为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏微商（或偏导数），记作fx（x0，y0），或记作

zx（x0，y0）， .

如果存在常数A与B，使得 [[ 函数 ]] 在点（x0，y0）的全增量△z可以表示为

其中 ρ=  ，则称A△x+B△y为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的全 [[ 微分 ]] ，记作

其中A，B是全微分定义中的 [[ 常数]].

若函数z=f（x，y）的两个偏微商在点（x0，y0）处 [[ 连续 ]] ，则函数f（x，y）在点（x0，y0）处可微.

设M0（x0，y0，f（x0，y0））为曲面z=f（x，y）上的一点，过M0作平面y=y0，截此曲面得一 [[ 曲线 ]] ，此曲线在平面y=y0上的方程为z=f（x，y0），则导数，

， 即偏导数fx（x0，y0），就是这曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的 [[ 斜率]].

{{reflist}} [[Category: 970 技藝總論]]