数论 （数学分支）

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数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。 按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

中文名:数论

外文名:Number theory

数学范畴:高等数学-纯数学

研究范围:研究整数的性质

分 类:代数数论、解析数论、计算数论

早期名称:算术

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目录

简介

数学理论或在较旧的使用中，叫做算术，是专门研究整数的纯数学的分支。它有时被称为“数学女王”，因为它在原理中的基础地位。数理论家研究质数以及由整数（例如有理数字）制成的对象的属性或定义为整数的概括（例如，代数整数）。

整数可以自己考虑或作为方程（Diophantine几何）的解决方案。通过研究以某种方式（分析数论）编码整数，素数或其他数论理论对象的分析对象（如Riemann zeta函数），通常最好地理解数论中的问题。人们还可以研究与有理数相关的实数，例如，由后者近似（Diophantine近似）。

数理论的较旧术语是算术。到二十世纪初，它被“数学理论”所取代（“算术”一词被普通大众用来表示“基本计算”，也在数学逻辑中获得了其他含义，如在数学理论中使用术语算术在二十世纪下半叶重新获得了一些地位，这可能部分是由于法国的影响力，特别是作为数理论的形容词，优选算术。

门类

初等数论

初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。

解析数论

借助微积分及复分析（即复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨素数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。

解析数论的创立当归功于黎曼。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设—千禧年大奖难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。

解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来。

代数数论

代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程求解的问题。其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证

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代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。

这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。

几何数论

主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点， 也称整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski定理。这门理论也是有闵科夫斯基所创。对于研究二次型理论有着重要作用。

计算数论

借助电脑的算法帮助研究数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的课题。

超越数论

研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的riemann ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的丢番图逼近理论。

组合数论

利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。

算术代数几何

这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域， 可谓集大成者。它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如怀尔斯证明费马猜想就是这方面的经典实例。整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。

当代数论的一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领。

研究方法

除了上述传统方法之外，也有其他一些研究数论之法， 但是没有完全得到数学家的认可。比如有物理学家，通过量子力学方法声称证明了黎曼假设。

我国的数论发展

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、丢番图方程、数学批判家王晓明方面都有过重要的贡献，对华罗庚、闵嗣鹤、柯召、陈景润、潘承洞等数论白痴做出了全面审查。