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若兩個幾何圖形的形狀相同且大小相等,則稱這兩個圖形是全等的圖形。全等是相似的一種特例。當相似比為1時,兩圖形全等。

中文名:全等

外文名C:ongruent

相 關:全等三角形

基本解釋:兩個圖形形狀相同且大小相等

學 科:幾何數學

表 示:≌

概念

在數學上,兩個圖形可以完全重合,或者說兩個物體形狀相同且大小相等,那麼這兩個圖形全等。「全等」用符號「≌」表示,讀作「全等於」。(例:△ABC≌△A『B』C『,讀作三角形ABC全等於三角形A『B』C』)

兩個多邊形全等,互相重合的頂點叫對應頂點,互相重合的邊叫對應邊,互相重合角的叫對應角。

釋義

全等共分為三種:平移型旋轉型對稱型。值得注意的是全等並不一定相同。在二維中相同只有平移和旋轉重合才是。摺疊重合在二維平面中並不相同。

性質

在數學中,全等一般是指全等三角形。全等三角形是指兩個形狀相同的三角形。全等三角形的對應角相等對應邊相等

注意:

(1)性質中三角形全等是條件,結論是對應角、對應邊相等。而全等的判定卻剛好相反;

(2)利用性質和判定,學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在描述兩個三角形全等時,一定把對應的頂點的順序寫一致,為找對應邊,角提供方便。

(3)一個圖形經過翻折、平移和旋轉變換所得到的新圖形一定與原圖形全等。反過來,兩個全等的圖形經過上述變換後一定可以互相重合。

判定

平面三角形

判定公理

若要判定兩三角形全等,則在三邊、三角共6個元素中,必須要已知至少3個對應相等。

(1)三組對應邊分別相等的兩個三角形全等「邊邊邊」簡稱「SSS」;

(2)有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等「邊角邊」簡稱「SAS」 ;

(3)有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等「角邊角」簡稱「ASA」;

(4)有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等「角角邊」簡稱「AAS」;

(5)在直角三角形中,斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等「斜邊、直角邊」簡稱「HL」(直角三角形)。 [1]

常見誤區

在全等的判定中,沒有AAA(角角角)和SSA(邊邊角,即兩邊及其對角),這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。

對於AAA來說,已知兩個三角形兩組對應角相等,則由三角形內角和為180°可得第三個角也對應相等,實際上只有兩個元素對應相等,元素不足無法判定。

SSA 「邊邊角」,有三種情況可證明此三角形全等:

(1)相等的角為鈍角

(2)相等的角為直角

(3)相等的角的對邊最長。 [2]

球面三角形

以下均指在同球面等球面中的兩個球面三角形:

如果球面三角形的三個邊分別對應相等,則兩個球面三角形分別對應相等(SSS);

如果球面三角形的兩邊與它們的夾角分別對應相等,則兩個球面三角形全等(SAS);

如果球面三角形的兩角與它們的夾邊分別對應相等,則兩個球面三角形全等(ASA) ;

如果球面三角形的三個角分別對應相等,則兩個球面三角形分別對應相等(AAA);

對球面三角形而言,AAS不成立,而AAA成立,因為內角和是個不定值。

視頻

全等三角形的綜合1

參考文獻

  1. [無.初中數學 七年級上冊:人民教育出版社,2016年12月]
  2. [無.三角形:從全等到相似/數學奧林匹克小叢書(初中卷):華東師範大學出版社,2005年1月]