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奧馬·海亞姆（阿拉伯數學家）原圖鏈接來自 百度 的圖片

奧馬·海亞姆Omar Khayyami（約1048～1131） 阿拉伯數學家、天文學家。生于波斯胡拉桑州內布爾，卒於同地。早年受到 良好的教育，愛好詩歌，的一些詩集流傳至今。曾在內沙布爾天文台工作，和他學者一起對當時的曆法進行了一次改革。奧馬·海姆最著名的數學著作是《代數問題的證明》，其阿拉文手稿和拉丁文譯本已保存下來，近代被譯成多種文字。 此書定義 代數學為「 解方程的科學」，這定義一直保到19世紀末。

曆法改革

奧馬在伊斯法罕期間，領導一批天文學家編制天文表，為了紀念庇護人，定名為《馬利克沙天文表》(Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables)，現在只有一小部分流傳下來，其中包括黃道坐標表和100顆最亮星的星表等．

天文台更重要的工作是進行曆法改革．波斯地區自古以來就使用陽曆，公元前1世紀施行瑣羅亞斯德教(Zoroaster，中國史稱祆教、拜火教)的陽曆，定一年為365天，分12個月．薩珊(S1s1n)王朝(公元226—621年)定陽曆為官曆。阿拉伯人征服這個地區以後，實行伊斯蘭教的陰曆．這種歷分一年為12個月，6個大月，6個小月，大月30天，小月29天，全年354天．閏年增加一個閏日成為355天，30年加11個閏日．陰曆一年和實際的回歸年365.2422日相差約11天，因此和四季是不合拍的，這對農業很不方便．奧馬時代，波斯人繼續使用傳統的陽曆，但因置閏的方法不精，漸漸產生誤差．有識之士看到，曆法要符合天時，必須進行根本的改革．

馬利克沙執政後，在伊斯法罕興建天文台，聘請以奧馬為首的一群天文學家去完成改革的任務．奧馬提出在平年365天的基礎上，每33年365.2422 日僅相差19.37秒鐘，積4460年才差1天．而現行的公曆(格里曆)400年置97個閏日，歷年長365.2425日，3333年差1天．

值得注意的是，如將0.2422展成連分數，可知各個漸近分數是

128年差1天．第2個分數是29年7閏，1218年差1天．根據有理逼近的理論，比奧馬閏法(33年8閏)更精密的閏法有95年23閏，1萬年以上才差1天．如果限定周期小於95年，那麼33年8閏就是最佳的選擇．這表明奧馬有較高的理論水平．他以1079年3月16日為曆法的起點，定名為「馬利克紀元」(Malik9era)或「傑拉勒紀元」(Jal1l9 era)．可惜改歷工作隨着領導人的死亡而夭折．

伊斯蘭教的陰曆主要用於宗教，它最大的缺點是和寒暑完全脫節，夏天有時在1月，有時在6月．而奧馬改革後的陽曆和四季是一致的．他對此頗感欣慰，曾作四行詩以詠其事：

啊，人們說我的推算高明，

我曾經把舊曆的歲時改正——

誰知道那只是從曆書之中

消去未生的明日和已死的昨晨．

生平貢獻

提出開高次方根

奧馬在《代數學》一書中寫道：「印度人有他們自己的開平方、開立方方法，……我寫過一本書，證明他們的方法是正確的．我並加以推廣，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．這些代數的證明僅僅以《幾何原本》的代數部分為根據．」

這裡所說他寫的書可能就是《算術問題》．現在萊頓大學藏有奧馬著作的手稿，但只有《算術問題》的封面，內容已遺失．

奧馬所了解的「印度算法」，實際來自兩本較早的書．一本是吉利(Kushy1ribn Labb1n al－J9l9)的《印度計算原理》(Princi-ples of Hindu reckoning)；另一本是奈塞維(u2018Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9)的《印度計算必備》(Things sufficient to understandHindu reckoning)．然而這些書所記述的開平方、開立方法和印度文獻所載的相去頗遠，倒是和中國古代的方法密近．中國的《九章算術》早已給出開平方、開立方的完整法則，並推廣用於方程的數值解．伊斯蘭數學很可能受到中國直接或間接的影響，因為自古以來絲綢之路就是中國和中亞的交通要道．不過由於他們使用了10個印度數碼，於是被誤認為「印度算法」．

在現存的阿拉伯文獻中，最早系統地給出自然數開高次方一般法則的是納西爾丁(Nasir ad－D9n al－T&9，也稱圖斯)編纂的《算板與沙盤算術方法集成》(Collection on arithmetic by meansof board and dust)．他沒有指出發明者，但他非常熟悉奧馬的工作，故很可能來自奧馬．

用圓錐曲線解三次方程

中世紀的阿拉伯數學家對圓錐曲線作了很多探索．最值得稱道的是奧馬海亞姆用圓錐曲線來解三次方程．這種方法可以溯源於希臘的門奈赫莫斯(Menaechmus)，事實上他就是為了解決倍立方問題(相當於三次方程x3=2a3)而發現圓錐曲線的．後來阿基米德在《論球與圓柱》(On the sphere and cylinder)卷2命題4提出這樣的問題：用一平面把球截成兩部分，使這兩部分的體積成定比．這問題導致三次方程

x2(a-x)=bc2．

解法的要點是求兩條圓錐曲線的交點，一條是雙曲線(a－x)y=ab，另一條是拋物線ax2=c2y．

阿基米德的「平面截球問題」引起阿拉伯數學家的極大興趣．巴格達的馬哈尼(al－M1h1nī)最先試圖用代數方法去解，但沒有成功．後來哈津(AbūJa1cfar al－Kh1zin)用圓錐曲線來解．研究這問題的還有庫希(al－Kuhi)、伊本·海塞姆(Ibn al－Haytham)、艾布爾·朱德(Abuu2019l Jud)等．

奧馬的功勞，在於考慮了所有形式的三次方程．由於他只取正根，係數也只限於正數，因此三次方程有各種不同的類型．他將一、二、三次方程歸結為25類，屬於三次方程的14類：缺一、二次項的x3=a；缺二次項的3類：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次項的3類：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺項的7類：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．

每一類都給出幾何解法，即用兩條圓錐曲線的交點來確定方程的根．奧馬在《代數學》中，專門闡述了方程的幾何解法．1851年，F．韋普克(Woepcke)將此書從阿拉伯文譯成法文，書名為《奧馬海亞姆代數學》(Lu2019algèbre du2019Omar Alkhayyāmī)．以後又有D．S．卡西爾(Kasir)英譯校訂本《奧馬海亞姆代數學》(The algebra of Omar Khayyam，1931)．下面取出其中的一個例子，用現代術語和符號來分析奧馬的方法(文獻[1]， p．75)．

要解的方程是

x3+ax=b．(1)

按照希臘人的觀點，將一個數看作一個線段，那麼兩個數之積就是矩形，三個數之積是長方體．同維數的量才能相加，所以先將方程改成齊次的形式

x3+c2x=c2h．(2)

右端c2h表示一個以c，c，h為邊的長方體．

用解析幾何的語言來說，方程(2)的根就是拋物線

x2=cy(3 )

和半圓周

y2=x(h-x)(4)

交點的橫坐標x．因為從(3)，(4)兩式消去y，就得到(2)．

此題在原書中是第6章第1題，完全用文字敘述，沒有方程的形式．方程(2)表述為「立方與邊(根)等於一個數」．解題的步驟是：以BO=h為直徑作半圓BPO，作AOD⊥BO，以O為頂點，OA=C為參數」(正焦弦)作拋物線POQ交半圓周於P．作PD⊥AD，PE⊥BO，則PD就是(2)的根(圖1)．

事實上，記PD=x，PE=y，在半圓內，

PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x)，

根據拋物線的性質，

PD2=x2=OA·PE=cy，

這正是(3)，(4)兩式．

奧馬曾探索過三次方程的算術(代數)解法，但沒有成功．他在《代數學》中寫道：「對於那些不僅含有常數項、一次項、二次項的方程，也許後人能夠給出算術解法」．經過幾百年的努力，三、四次方程的一般代數解法直到16世紀才由意大利數學家給出，五次以上方程的可解性問題到19世紀才解決①．

推進幾何代數學的發展

奧馬發展了歐幾里得的幾何代數學，使幾何與代數更緊密地聯繫起來，這是一項重要的貢獻．可惜在1851年韋普克的譯本出現之前，歐洲人幾乎完全不知道他的工作(儘管在18世紀已有一些零星的介紹)、否則解析幾何的發現和推進會更加迅速．

用現代的觀點看，如果引入負數並承認負根，三次方程可以寫成統一的形式

x3+ax2+b2x+c3=0，(5)

不必如此煩瑣地分類．以

x2=py(6)

代入(5)，得到

pxy+apy+b2x +c3=0．(7)

(6)是拋物線，(7)是雙曲線．作出這兩條線，交點的橫坐標便是(5)的根

對《幾何原本》的研究

奧馬在歐幾里得幾何的研究方面有兩項貢獻，一是對平行公設的試證，二是對比與比例提出新的見解．

早在9世紀，當歐幾里得《幾何原本》傳入伊斯蘭國家後，第五公設就引起學者們的注意．所謂第五公設或平行公設就是在《原本》中提出的公理：「如果一直線和兩直線相交，所構成的兩個同旁內角之和小於兩直角，那麼，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的一側相交．」這公設不論在詞句或內容方面都比其他四個公設複雜得多，而且也不那麼顯而易見．人們自然會發生是否可以證明的疑問．

阿拉伯學者對此公設進行試證的有焦赫里(al－Jawharī)，塔比伊本庫拉(Thābit ibn Qurra)，伊本海塞姆(Ibn al－Haytham，即Alhazen)，奧馬海亞姆等人．實質上他們並沒有證明了公設，而是採用另外一與之等價的公設來代替它．

奧馬在1077年撰寫了《辯明歐幾里得公設中的難點》(Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid)一書，討論了兩個難題，一是平行公設，二是比的問題．他考察四邊形ABCD，DA與CB同垂直於AB且DA=CB(圖2)．無需用平行公設，很容易證明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三種可能：(1)等於直角；(2)等於鈍角；(3)等於銳角．若採用平行公設．可以證明∠C，∠D等於直角．反之，若能證明∠C，∠D等於直角，便可推出平行公設．奧馬用反證法，「證明」鈍角、銳角假設必導致矛盾，因此只有直角的情形成立，這就無異證明了平行公設．但他的證明是有缺陷的，實際是引入下述假設來代替平行公設：兩條直線如果越來越接近，那麼它們必定在這個方向上相交．所以他也未解決平行公設問題．

18世紀時，G．薩凱里(Saccheri)重新研究這個四邊形(後人常稱之為「薩凱里四邊形」)，由此得出一系列互不矛盾的命題．他和前人雖然未建立(也未意識到)非歐幾何，但已為非歐幾何的誕生鋪平了道路．

比與比例

比與比例也是奧馬研究的中心問題．早在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派就建立過比例論，不過只限於可公度量．如果A，B兩個量可公度，即存在正整數m，n，使得mA=nB，則

就是一個數．但若A，B不可公度，他們便認為A與B無法相比．這樣就很難建立一切量的比例論．歐多克索斯(Eudoxus of Cni－dus)為了擺脫這一困難，另立「比」的定義：如果一個量加大若干倍之後就可以大於另一個量，則說這兩個量有一個「比」．接着定義「比例」：設有A，B，C，D4個量，A與C，B與D分別乘以同樣的倍數m，n，如果

則說兩個比A∶B與C∶D相等，即4個量可構成比例A∶B=C∶D．

歐多克索斯採取這一定義是煞費苦心的，這樣可迴避無公度的麻煩，由此出發完成了適用於一切量的比例論．歐幾里得將歐多克索斯的理論編入《原本》成為卷V．伊斯蘭學者並不懷疑比例論的真理性，而是對其立論的出發點即比例的定義持有異議．最先提出新定義的是馬哈尼(al－M1h1n9，他的思路可用現代術語表述如下：將A/B及C/D展開成連分數，A/B=(q1，q2，…，qn，…)，C/D=(qu20321，qu20322，…，qu2032n，…)，其中qi，qu2032i(i=1，2，…)是各個偏商．如果qi=qu2032i(i=1，2，…)則稱A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．馬哈尼認為這定義能更好地揭露比例的本質．它適用於可公度量與不可公度量，在可公度的情況，n是有限的．

奧馬論證了這種定義和《原本》中比例定義的等價性，進而研究比及比例的若干性質，對伊斯蘭數學和西方數學都有重要的影響．

另一方面，希臘人雖然承認無公度的兩個量A，B有比，但始終不承認A/B是一個數(即無理數)，這就大大妨礙了數學的發展．奧馬勇敢地衝破這一桎梏，主張擴大數系，將無公度量的比接納在內．例如2的平方根，圓周長與直徑的比等等，應該考慮為一種新的數．這在思想上是一次不尋常的飛躍，是建立實數系的先聲．然而直到19世紀才真正實現了他的理想．

科學家精神

比起他們的成就 ，大科學家留給我們的更多是精神的財富。他們身上有真正科學家的精神，這種精神更值得我們尊敬。

科學家該有什麼樣的精神？科學，本身即是探索未知，發現真理，發展先進，改造世界，造福人類的學問，而成為科學家，獻身科學事業的人所擁有的精神是：鍥而不捨，勇於獻身於科學，無私奉獻卻淡泊名利……

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